התפלגות בינומית

התפלגות בינומית
מאפיינים
פרמטרים	p - ההסתברות ל"הצלחה",n - מספר ההטלות
תומך	${\displaystyle \ k\in \{0,1,2...,n\}}$
פונקציית הסתברות (pmf)	${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!}$
תוחלת	${\displaystyle \ np}$
סטיית תקן	${\displaystyle \ {\sqrt {np(1-p)}}}$
חציון	${\displaystyle \{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}}$
ערך שכיח	${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!}$
שונות	${\displaystyle \ np(1-p)}$
אנטרופיה	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}\!}$
צידוד	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!}$
גבנוניות	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!}$

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים. ההסתברות ל"הצלחה" בניסוי יחיד מסומנת כ-p, וההסתברות ל"כישלון" היא ההסתברות המשלימה (p-‏1).

סימון

משתנה מקרי X מפולג בינומית מסומן ${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}\left(n,p\right)}$ , וההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים (${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$) היא:

${\displaystyle P\left(X=k\right)={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}}$

כאשר "המקדם הבינומי" ${\displaystyle \ {\binom {n}{k}}}$ הוא מספר האפשרויות ל-k הצלחות ב-n ניסויים.

כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש ${\displaystyle \ n!}$ (סימן הקריאה מייצג את פונקציית העצרת) דרכים לסדר את n הניסויים.

לאותה מסקנה ניתן להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כישלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש ${\displaystyle \ k!}$ אפשרויות סידור), ואת הכישלונות (יש ${\displaystyle \ (n-k)!}$ אפשרויות סידור).

מכאן ${\displaystyle \ n!={\binom {n}{k}}\cdot k!\cdot (n-k)!}$, ולכן: ${\displaystyle \ {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}$

מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא ${\displaystyle \ np}$ ואילו השונות שלו היא ${\displaystyle \ np(1-p)}$.

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר ${\displaystyle \ \lambda =np}$.

הוכחת ההתפלגות

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה אחת של k הצלחות במקומות מסוימים היא ${\displaystyle \ p^{k}(1-p)^{n-k}}$,

שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות ${\displaystyle \ p}$) ולפיכך ב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות המשלימה, ${\displaystyle \ 1-p}$).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא ${\displaystyle \ t\cdot p^{k}(1-p)^{n-k}}$, כאשר ${\displaystyle \ t}$ הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור את k המקומות שבהם יהיו הצלחות מתוך כלל n המקומות. ניתן להוכיח בקומבינטוריקה כי המספר ${\displaystyle \ t}$ הוא בדיוק המקדם הבינומי ${\displaystyle \ {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$.

התפלגות בינומית שלילית

ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם: ${\displaystyle P_{X}(k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\Gamma (r)}}P^{r}(1-P)^{k}}$

כאשר ${\displaystyle \Gamma }$ היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

התפלגויות דומות בהקשר בינומי

ראו גם

• תיבת גלטון

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת