משפט הרבע של קוב

באנליזה מרוכבת, משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem – על שם המתמטיקאי פאול קוב) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית ${\displaystyle f}$ מכילה כדור ברדיוס ${\displaystyle {\frac {|f'(0)|}{4}}}$ .

פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה הממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה.

ניסוח

תהי ${\displaystyle f:D\to \mathbb {C} }$ פונקציה אוניוולנטית, כלומר פונקציה הולומורפית וחד־חד־ערכית, כאשר ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$ הוא מעגל היחידה. אזי התמונה ${\displaystyle f(D)}$ מכילה כדור ברדיוס ${\displaystyle {\frac {|f'(0)|}{4}}}$ סביב ${\displaystyle f(0)}$ .

הוכחה

על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי ${\displaystyle a_{0}=0,a_{1}=1}$ , כלומר ${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{a_{n}z^{n}}}$ . לכל ${\displaystyle w\not \in f(D)}$ נגדיר ${\displaystyle h(z)={\frac {f(z)}{1-f(z)/w}}=z+(a_{2}+{\frac {1}{w}})z^{2}+\ldots }$ ; היא גם אוניוולנטית ב־${\displaystyle D}$ . לפי משפט דה ברנז' על ${\displaystyle f,h}$ עבור ${\displaystyle n=2}$ , נקבל ${\displaystyle |{\frac {1}{w}}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+{\frac {1}{w}}|\leq 4}$ , לכן ${\displaystyle dist(w,0)=|w|\geq {\frac {1}{4}}}$ .

פונקציית קוב

ראו גם

• פונקציה אוניוולנטית
• משפט דה ברנז'
• השערת גודמן