משפט התיכון

AD תיכון ל-BC

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}}$

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:

${\displaystyle \ mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}}$

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחה

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle ABC>\frac{\pi}{2}} אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2p\cdot BC}

נעביר אגפים, ונקבל: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2p\cdot BC=AB^2+BC^2-AC^2}

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: ${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2p\cdot BD}$

נציב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BD=\frac{BC}{2}} , ונקבל: ${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{4}}-p\cdot BC}$

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2p\cdot BC=2AB^2+\frac{BC^2}{2}-2AD^2}

על פי כלל המעבר, נקבל: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB^2+BC^2-AC^2=2AB^2+\frac{BC^2}{2}-2AD^2}

לאחר העברת אגפים, נקבל: ${\displaystyle 2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}=AB^{2}+AC^{2}}$