משפט לי

באלגברה מופשטת, משפט לי קובע כי כל האיברים של תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים ניתנים להצגה בבסיס מסוים למטריצות משולשיות עליונות.

ניסוח פורמלי

תהי ${\displaystyle L}$ תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים ${\displaystyle GL(V)}$ עבור מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ובעל מאפיין אפס. אז כל איבר ב-${\displaystyle L}$ ניתן להציג לפי בסיס מסוים בתור מטריצה משולשית עליונה.

מסקנות

מהמשפט ניתן להסיק כי אם ${\displaystyle L}$ פתירה, יש שרשרת אידאלים ${\displaystyle 0={L}_{0}\subseteq {L}_{1}\subseteq ...\subseteq {L}_{n}=L}$, כך ש-${\displaystyle \dim {L}_{i}=i}$.

כתוצאה מכך, יחד עם משפט אנגל, נובע אם ${\displaystyle L}$ אלגברת לי פתירה, אז ${\displaystyle [L,L]}$ נילפוטנטית. קל לראות שגם ההפך נכון, ולכן ${\displaystyle L}$ פתירה אם ורק אם ${\displaystyle [L,L]}$ נילפוטנטית.

ראו גם

• אלגברת לי פתירה

• אלגברת לי נילפוטנטית

לקריאה נוספת