נוסחאות ויאטה

באלגברה, נוסחאות ויאטה, הקרויות על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט הן נוסחאות פשוטות שמקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו המרוכבים.

עבור פולינום מהצורה ${\displaystyle \ p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$, עם שורשים ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$, כולל שורשים כפולים, מתקיים:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}$

הנוסחה לכל אחד ואחד היא:

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

לדוגמה, מתקיים:

${\displaystyle \ \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}={\frac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\quad ,\quad \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{a_{n}}}}$

בפרט, עבור פולינום ממעלה שנייה ${\displaystyle \ p(x)=ax^{2}+bx+c}$, מתקיים:

${\displaystyle \ -{\frac {b}{a}}=x_{1}+x_{2}\ ;\ {\frac {c}{a}}=x_{1}\cdot x_{2}}$

מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:

${\displaystyle \ \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}=\mathrm {tr} (A)\quad ,\quad \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}=\det(A)}$

כאשר A היא המטריצה ו-x_j הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.

קישורים חיצוניים