סדר מלא

בתורת הקבוצות, סדר מלא (או סדר לינארי) הוא יחס סדר חלקי המאפשר להשוות כל שני אברים: לכל ${\displaystyle a,b}$ מתקיים ${\displaystyle a\leq b}$ או ${\displaystyle b\leq a}$ . קבוצה הסדורה בסדר מלא נקראת קבוצה סדורה (או קבוצה סדורה לינארית או שרשרת).

דוגמאות:

• היחס קטן או שווה על קבוצת המספרים הטבעיים, המסומן ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$ , הוא סדר מלא.
• היחס קטן על קבוצת המספרים הטבעיים הוא סדר מלא חזק (כפי שיוגדר בהמשך הערך).
• על צבעי האור בקשת הצבעים ניתן להגדיר סדר מלא, לפי אורך הגל של כל צבע. לפי יחס סדר זה, סגול קטן מכחול שקטן מאדום וכו'.

הגדרה

יחס סדר חלקי (חלש או חזק) R נקרא יחס סדר מלא (או "יחס סדר שלם", או "יחס סדר לינארי") אם לכל ${\displaystyle a\neq b}$ מתקיים ${\displaystyle aRb}$ או ${\displaystyle bRa}$ . קבוצה שמוגדר עליה יחס סדר מלא נקראת סדורה לינארית (או "סדורה בשלמות").

פעולות בין סדרים

חיבור סדרים: החיבור של סדרים ${\displaystyle (P,\leq ),(Q,\leq )}$ מוגדר לפי "${\displaystyle P}$ ואז ${\displaystyle Q}$", כלומר הקבוצה ${\displaystyle P+Q=P\times \{0\}\cup Q\times \{1\}}$ עם הסדר ${\displaystyle x,y\in P,(x,0)\leq (y,0)\iff x\leq y}$ , ${\displaystyle a,b\in Q,(a,1)\leq (b,1)\iff a\leq b}$ , ולכל ${\displaystyle a\in Q,x\in P}$ מתקיים ${\displaystyle x\leq a}$ .

כפל סדרים: יהיו ${\displaystyle (P,\leq ),(Q,\leq )}$ סדרים אז נגדיר ${\displaystyle Q\times P}$ עם הסדר המילוני הימני (העברי) כלומר:

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\leq (y_{1},y_{2})}$ אם מתקיים:

${\displaystyle x_{2}\leq y_{2}}$ או, ${\displaystyle y_{2}=x_{2}}$ וגם ${\displaystyle x_{1}\leq y_{1}}$

הערות:

• אם ${\displaystyle (P,\leq ),(Q,\leq )}$ סדרים טובים אז ${\displaystyle P+Q,P\times Q}$ הם סדרים טובים.

• כיון שפעולת החיבור ופעולת הכפל מוגדרות היטב ניתן גם לדבר על פילוג מימין: יהיו ${\displaystyle (M,\leq ),(P,\leq ),(Q,\leq )}$ סדרים מלאים, אז מתקיים: ${\displaystyle P\times (Q+M)=P\times Q+P\times M}$ .

• עבור סדרים סופיים פילוג משמאל מתקיים. אך עבור סדרים אינסופיים זה לא נכון.

ראו גם

• סדר טוב
• פונקציה שומרת סדר
• טיפוס סדר