סיגמואיד (מתמטיקה)

פונקציה לוגיסטית

פונקציית השגיאה

פונקציית סיגמואיד היא פונקציה מתמטית בעלת עקומה בצורת האות S הנקראת גם עקומת סיגמואיד. לעיתים קרובות היא מתייחסת למקרה פרטי של הפונקציה הלוגיסטית, כפי שניתן לראות באיור הראשון, ומתוארת על ידי הנוסחה הבאה:

${\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}}$

הגדרה

פונקציית סיגמואיד מוגדרת על הישר הממשי, רציפה וגזירה ועולה מונוטונית – נגזרתה אי־שלילית בכל נקודה.

דוגמאות

השוואה של מספר פונקציות סיגמואיד. באיור כל הפונקציות מנורמלות בצורה כזו שהראשית שלהן ב־1

• פונקציה לוגיסטית ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$
• פונקציית טנגנס היפרבולי ${\displaystyle f(x)=\tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$
• פונקציית טנגנס ההפוכה ${\displaystyle f(x)=\arctan(x)}$
• פונקציית גודרמן ${\displaystyle f(x)={\text{gd}}(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {1}{\cosh(t)}}dt}$
• פונקציית השגיאה ${\displaystyle f(x)={\text{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}$
• פונקציה לוגיסטית מוכללת ${\displaystyle f(x)=(1+e^{-x})^{-\alpha }\ ,\ \alpha >0}$
• פונקציות אלגבריות מסוימות ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

• סיגמואיד, באתר MathWorld (באנגלית)