פונקציה לוגיסטית

פונקציה לוגיסטית סיגמואידית ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

פונקציה לוגיסטית או עקום לוגיסטי הוא עקום בצורת S המוגדר על ידי הפונקציה:

${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$

כאשר

• e בסיס הלוגריתם הטבעי.
• ${\displaystyle x_{0}}$ נקודת המרכז של הסיגמואיד.
• ${\displaystyle L}$ הערך המרבי של העקום.
• ${\displaystyle k}$ שיפוע העקום^[1].

הפונקציה קיבלה את שמה בשנים 1844–1845 על ידי המתמטיקאי הבלגי פייר פרנסואה ורהולסט שחקר אותה בהקשר של גידול אוכלוסייה. השלב הראשוני הוא בערך אקספוננטי, בהמשך כאשר מגיעים לרוויה הגידול קטן עד לעצירה. לפונקציה הלוגיסטית שימושים בתחומים מגוונים בהם סטטיסטיקה, הסתברות, רשתות עצביות מלאכותיות, ביולוגיה, ביולוגיה מתמטית, כימיה, דמוגרפיה, כלכלה, מדעי כדור הארץ, פסיכולוגיה מתמטית, סוציולוגיה, מדע המדינה, ובלשנות.

תכונות מתמטיות

הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית היא פונקציה לוגיסטית עם פרמטרים ${\displaystyle k=1,x_{0}=0,L=1}$ המניבה

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{1+e^{-x}}}\\&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\\&={\frac {1+\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)}{2}}\end{aligned}}}$

עקב טבעה של הפונקציה המעריכית ${\displaystyle e^{-x}}$ , לעיתים די לחשב את הפונקציה הלוגיסטית התקנית עבור ${\displaystyle x}$ עבור טווח קטן של מספרים ממשיים כדוגמת הטווח ${\displaystyle [-6,6]}$ .

לפוקנציה הלוגיסטית תכונת סימטריות:

${\displaystyle 1-f(x)=f(-x)}$

בהתאם, ${\displaystyle x\mapsto f(x)-{\tfrac {1}{2}}}$ היא פונקציה אי־זוגית.

הפונקציה הלוגיסטית היא פונקציה היפרבולית:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)={\frac {1+\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)}{2}}\\\tanh(x)=2f(2x)-1\end{aligned}}}$

על בסיס

${\displaystyle \tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {1+e^{-2x}-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1}$

הערות שוליים