עימוד רצפים

עימוד רצפים גלובלי

כאשר נתונה מטריצת החלפות (כדוגמת BLOSUM62 או PAM250), המגדירה את ציון לכל החלפה של אותיות וכאשר ניתן ציון חוסר באות, הציון לעימוד של שני רצפים מוגדר כסכום הציונים לכל העמדות. בעיית עימוד רצפים גלובלי היא בעיה שבה מתאימים בין כל אות ברצף אחד לאות ברצף השני כאשר שני הרצפים דומים, במטרה למצוא את העימוד הטוב ביותר, במובן שציון העימוד יהיה מקסימלי.

לדוגמה כאשר הציון של אות חסרה הוא -5 ונעשה שימוש במטריצת החלפות הבאה:

ניתן לחשב ציון עבור עימוד של שני רצפים:

הציון הכולל המתקבל מסכימת הציונים על כל העמדות בדוגמה לעיל 1.

אלגוריתם נידלמן וונש (Needleman-Wunsch)‏^[1] מיועד לפתור בעיה זו ביעילות (סיבוכיות זמן ומקום של ${\displaystyle \ O(n^{2})}$ - עבור רצפים באורך n) תוך שימוש בתכנון דינמי, באמצעות מילוי מטריצת ${\displaystyle F_{ij}}$, המגדירה את ציון העימוד המיטבי עבור תת-המחרוזת מ-A המתחילה מהאות האפס (מחרוזת ריקה) ונגמרת באות ה-${\displaystyle i=0,\dotsc ,n}$ ותת המחרוזת ב-B המתחילה באפס ונגמרת באות ה-${\displaystyle j=0,\dotsc ,m}$. הטבלה מוגדרת על פי הבסיס (שורה אפס ועמודה אפס):

${\displaystyle F_{0j}=d*j}$

${\displaystyle F_{i0}=d*i}$

והרקורסיה (יתר המטריצה) מאותחלת על פי ערך העימוד המיטבי:

${\displaystyle F_{ij}=\max {\begin{Bmatrix}F_{i-1,j-1}+\ w(A_{i},B_{j})&{\text{Match/Mismatch}}\\F_{i-1,j}+\ d&{\text{Deletion}}\\F_{i,j-1}+\ d&{\text{Insertion}}\end{Bmatrix}},\;1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$

כאשר: ${\displaystyle w(a,b),\;a,b\in \Sigma }$ מגדיר את הציון להחלפה ו-d מציין ציון לרווח.

ציון העימוד המיטבי עבור הרצף A והרצף B מוגדר על פי ${\displaystyle F_{nm}}$, כאשר את העימוד המתאים לציון זה (העימוד המיטבי) ניתן למצוא באמצעות מילוי טבלה נוספת המגדירה מצביעים בהתאם לבחירה ובסיום לפעול בעקיבה לאחור (Backtracking) החל מהתא המתאים -${\displaystyle F_{nm}}$.

עימוד רצפים מקומי

בבעיית עימוד רצפים מקומי המטרה היא למצוא אזור (תת רצף) המתאים ביותר בין שני רצפים (אך לא נדרש עימוד לרצף המלא). אלגוריתם סמית-וטרמן (Smith-Waterman) ‏^[2] פותר בעיה זו בסיבוכיות זמן ומקום של ${\displaystyle \ O(n^{2})}$ (עבור רצפים באורך n). באלגוריתם זה ממלאים טבלה ${\displaystyle F_{ij}}$ המגדירה את העימוד המיטבי לסיפא של הרצף A מ-0 (מחרוזת ריקה) ועד האות i, ולסיפא של הרצף B מ-0 ועד האות j. הטבלה מוגדרת על פי הבסיס:

${\displaystyle F_{i}0=0,\;0\leq i\leq m}$

${\displaystyle F_{0}j=0,\;0\leq j\leq n}$

${\displaystyle {\text{ if }}a_{i}=b_{j}}$ then ${\displaystyle w(a_{i},b_{j})=w{\text{(match)}}}$ ${\displaystyle {\text{ or if }}a_{i}\neq b_{j}}$ then ${\displaystyle w(a_{i},b_{j})=w{\text{(mismatch)}}}$

${\displaystyle F_{ij}=\max {\begin{Bmatrix}0\\F_{i-1,j-1}+\ w(a_{i},b_{j})&{\text{Match/Mismatch}}\\F_{i-1,j}+\ w(a_{i},-)&{\text{Deletion}}\\F_{i,j-1}+\ w(-,b_{j})&{\text{Insertion}}\end{Bmatrix}},\;1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$

כאשר:

• ${\displaystyle m={\text{length}}(a)}$
• ${\displaystyle n={\text{length}}(b)}$
• ${\displaystyle w(c,d),\;c,d\in \Sigma \cup \{'-'\}}$ - ציון להחלפה, כאשר '–' הוא מציין רווח

אלגוריתם זה דומה לאלגוריתם נידלמן וונש, אך ציון שלילי מוחלף ב-0 (כלומר מוטב להתחיל עימוד חדש מהמקום מאשר להמשיך את העימוד הקודם), והעימוד הטוב ביותר נבחר כמקסימום במטריצת הציונים (ולא המיקום האחרון).