עקיפת פרנל

רקע היסטורי

תופעת העקיפה החלה להיבחן במאה ה17, על ידי פרנצ'סקו מריה גרימלדי, שטבע את המונח האנגלי Diffraction (המגיע מהמילה הלטינית Diffringere, "להישבר לחתיכות", במובן של אור שמתפצל להרבה כיוונים). העבודה של גרימלדי פורסמה לאחר מותו ב-1665^[1].

התקדמות משמעותית נוספת הייתה של ג'יימס גרגורי במאה ה17, שחקר את תבנית העקיפה שנוצרת כתוצאה מפגיעה של גל בנוצת ציפור, מה שהיה למעשה סריג העקיפה האפקטיבי הראשון שנחקר^[2].

לאחר מכן, תומאס יאנג ערך את ניסויו המפורסם "ניסוי שני הסדקים", שבאמצעותו הסיק שאור מתקדם בצורה גלית. ולכך הוסיף אוגוסטן ז'אן פרנל כשהמשיך לחקור את תופעת העקיפה של אור, והגיע לתוצאות המאששות את העקיפה כתופעה גלית.

הקירוב הפראקסיאלי

ערך מורחב – הקירוב הפראקסיאלי

באופטיקה גאומטרית הקירוב הפראקסיאלי הוא קירוב זוויות קטנות. שימושיו הידועים הם טכניקת ray tracing (מעקב אחר קרני אור במערכת אופטית, כגון עדשה), וכן עקיפת פרנל.

קרן פראקסיאלית היא קרן שהזווית (ברדיאנים) בינה לבין הציר האופטי של המערכת קטנה, כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta<<1} . במקרה זה, מקרבים עבור הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות בהתקדמות הקרן:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin\theta \approx \theta}

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\theta \approx 1}

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\theta \approx \theta}

רקע פיזיקלי

בעקיפה אנו מתמודדים עם הבעיה של גל מישורי שפוגע במחסום מישורי, ואנו רוצים לדעת כיצד הוא מתקדם במרחב. כדי לענות על זה, נסתכל על משוואת הגלים:

${\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,{\vec {r}})=v^{2}\ \nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})}$

זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}} הוא המקום במרחב.
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t} הוא הזמן.
• הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (t,\vec{r})} היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v} היא מהירות התקדמות הגל.
• ${\displaystyle \ \nabla ^{2}}$ הוא האופרטור לפלסיאן.

לפי תורת שטורם-ליוביל, ניתן לפתור בעיה זו בהפרדת משתנים. כיוון שנרצה לקדם את הגל במרחב, נפתור רק עבור החלק המרחבי, ונקבל את משוואת הלמהולץ:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ({\vec {r}})+k^{2}\Phi ({\vec {r}})=0}

עקיפת פרנל עוסקת בפתרון משוואת הלמהולץ עבור גל מונוכרומטי בקירוב הפראקסיאלי.

מערכות עקיפה

מערכות הצירים בניסויי עקיפה. באיור מודגמת פונקציה מעגלית כפונקציית ההעברה של המחסום

כאשר גל מישורי פוגע במחסום מישורי בעל מפתח, משרעת הגל לאחר המחסום שווה למכפלת משרעת הגל המישורי שפגע בו בפונקציית ההעברה של המחסום. מחסום פשוט הוא מחסום בעל מפתח, כך שלאחר המחסום הגל מתאפס למעט באזור המפתח, שם הגל עובר ללא שינוי. דוגמה לפונקציית העברה של מחסום כזה היא פונקציית המלבן הדו ממדית, המתארת מפתח מרובע. מחסומים מורכבים יותר הם כאלה שמכפילים את הגל בהגברים שונים כתלות במיקום על המחסום. הגבר שהוא מספר מרוכב מציין כי בנוסף לשינוי המשרעת, נוסף לגל גם מופע.

פונקציית ההעברה של המחסום מסומנת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ U(x',y',0)} , כאשר מערכת הצירים במישור המחסום z=0 מסומנת ${\displaystyle \ x',y'}$. כאשר גל בעל פונקציית גל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(t,\vec r)} פוגע במחסום, הגל שעובר דרך המחסום יהיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x',y',0)=\psi(t,\vec r) U(x',y')} . מערכת הצירים על פני מסך מישורי הניצב במרחק z מסומנת x,y והגל הפוגע במסך מסומן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U(x,y,z)} .

פיתוח לפי פתרון ריילי זומרפלד

את תבנית העקיפה הכללית ביותר ניתן לחשב באמצעות פתרון ריילי זומרפלד (על שם הלורד ריילי וארנולד זומרפלד):

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,z)=\frac1{2\pi} \iint_{-\infty}^{\infty}\tilde{U}(k_x,k_y,0) e^{ikz \sqrt{1-\frac{k_x^2}{k^2} -\frac{k_y^2}{k^2}}} e^{i(k_x x+k_y y)} dk_x dk_y}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{U}} הוא התמרת הפורייה הדו ממדית של פונקציית הגל ב-z=0. במילים אחרות, פתרון ריילי זומרפלד סוכם את כל הגלים שמגיעים (בתדרים מרחביים שונים) לפונקציית המחסום, ומקדם אותם במרחב עד למישור z. אינטגרל זה לרוב אינו פתיר אנליטית. קירוב פרנל למעשה מדבר על הקירוב הפראקסיאלי, והתנאי לקיומו הוא: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \theta <<\pi \Leftrightarrow |{\frac {k_{x}}{k}}|,|{\frac {k_{y}}{k}}|<<1}

בקירוב זה, נפתח את התמרת הפורייה של פונקציית הגל לטור טיילור, ונקבל: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{ikz\sqrt{1-\frac{k_x^2+k_y^2}{k^2}}}\approx e^{ikz}e^{\frac{-i(k_x^2+k_y^2)z}{{2k}}}}

וכשנציב בפתרון הכללי נקבל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,z)=\frac1{2\pi}\iint_{-\infty}^\infty\tilde{U}(k_x,k_y,0)e^{ikz}e^{\frac{-i(k_x^2+k_y^2)z}{{2k}}}e^{ik_xx+ik_yy}dk_xdk_y}

ניזכר כי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac1{2\pi}\mathcal{F}^{-1}[\tilde{U}(k_x,k_y,0)]=U(x,y,0)}

כעת, נסתכל על החלק באינטגרנד שהוא לא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{U}}

ונשתמש באינטגרל: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}+\beta x}dx={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}e^{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}}$

ונקבל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}_{k_x,k_y}^{-1}[\frac{e^{ikz}}{2\pi}e^{\frac{-i(k_x^2+k_y^2)z}{2k}}]=\frac{-ike^{ikz}}{2\pi z}e^{\frac{ik(x^2+y^2)}{2z}}=U_{3D}}

כאשר ${\displaystyle U_{3D}}$ היא פונקציה של גל כדורי המתקדם במרחב תלת ממדי. התוצאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,z)=\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[U(x,y,0)]\mathcal{F}[U_{3D}]]=U(x,y,0)*U_{3D}}

כאשר המעבר האחרון נובע ממשפט הקונבולוציה. קיבלנו את עקיפת פרנל כקונבולוציה של תבנית הכניסה עם גל כדורי.

עקיפה של גל מישורי דו ממדי דרך סדק יחיד. ניתן לראות כאן הדגמה של עקרון הויגנס פרנל - כל נקודה בחזית הגל מהווה מקור נקודתי של גל כדורי

פיתוח לפי עקרון הויגנס

לפי עקרון הויגנס, הקשר בין הגל הפוגע במסך לבין הגל היוצא מהמחסום נתון במערכת צירים קרטזית על ידי:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,z) = \frac{kz}{2 \pi i} \iint_{-\infty}^{\infty} U(x',y') \frac{e^{ik \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}}}{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2} dx' dy'}

כאשר k מספר הגל והאינטגרל הוא על כל המחסום. קירוב פרנל תקף כאשר מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^3 >> \frac{k}{8}((x-x')^2+(y-y')^2)^2}

בתנאי זה ניתן לקרב את המכנה של האינטגרנד ל-${\displaystyle \ z^{2}}$ ואת השורש באקספוננט המרוכב לטור טיילור מסדר שני:

${\displaystyle {\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}\approx z(1+{\frac {1}{2}}{\frac {x-x'}{z}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {y-y'}{z}}^{2})}$

לאחר הקירוב מתקבלת תוצאת עקיפת פרנל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,z) = \frac{k e^{ikz}}{2 \pi iz} \iint_{-\infty}^{\infty} U(x',y') e^{i \frac{k}{2z} ((x-x')^2+(y-y')^2)}dx' dy'}

הצגות נוספות

את עקיפת פרנל ניתן גם להציג בצורה הבאה:

${\displaystyle U(x,y,z)={\frac {ke^{ikz}}{2\pi iz}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}\iint _{-\infty }^{\infty }[U(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x'^{2}+y'^{2})}]e^{-i{\frac {k}{z}}(xx'+yy')}dx'dy'}$

זאת ניתן לכתוב באמצעות התמרת פורייה עם כיווץ בתדר. התמרת פורייה הדו-ממדית של פונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(x,y)} מוגדרת:

${\displaystyle G(f_{X},f_{Y})={\mathcal {F}}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (f_{X}x+f_{Y}y)}dxdy}$

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ f_{X},f_{Y}} הם התדרים המרחביים בכיוונים x,y בהתאמה. מכאן:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,z) = \frac{k e^{ikz}}{2 \pi iz} e^{i \frac{k}{2z} (x^2+y^2)} \cdot \mathcal{F} \left. \{ U(x',y') e^{i \frac{k}{2z} (x'^2+y'^2)} \} \right|_{f_X = \frac{kx}{2 \pi z}; f_Y = \frac{ky}{2 \pi z}}}

ואם נגדיר:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(f_X,f_Y) = \mathcal{F} \{ \psi_{3D}(x,y) \}}

${\displaystyle G(f_{X},f_{Y})={\mathcal {F}}\{U(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x'^{2}+y'^{2})}\}}$

אז:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle U(x,y,z)=\left.H(f_{X},f_{Y})\cdot G(f_{X},f_{Y})\right|_{f_{X}={\frac {kx}{2\pi z}};f_{Y}={\frac {ky}{2\pi z}}}}

אפקט טלבוט

ערך מורחב – אפקט טלבוט

אפקט טלבוט הוא אפקט המתרחש בעקיפה בשדה הקרוב (קירוב פרנל). כאשר גל מישורי מונוכרומטי פוגע בסריג עקיפה מחזורי בגבול השדה הקרוב (עקיפת פרנל), במרחקים מסוימים פונקציית הגל תהיה זהה לפונקציית הסריג (עד כדי הזזת פאזה שנובעת מהתקדמות הגל במרחב). מרחקים אלו נקראים מרחקי טלבוט.

עדשה בקירוב פרנל

נניח גל מונוכרומטי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_0(x',y',0)} שפוגע בעדשה מרכזת. נרצה לחשב את השדה במוקד העדשה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,f)} .

תחילה, ניעזר בפונקציית התמסורת של עדשה^[3]: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle t_{l}=e^{-{\frac {ik}{2f}}(x^{2}+y^{2})}} . נשתמש בקירוב פרנל ונקבל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,f)=\frac{e^{\frac{ik}{2f}(x^2+y^2)}}{i\lambda f}\iint_{-\infty}^{\infty}U_0(x',y',0)[t_l(x',y')e^{\frac{ik}{2f}(x'^2+y'^2)}]e^{-\frac{ik}{f}(xx'+yy')}dx'dy'}

נבחין כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_l(x',y')e^{\frac{ik}{2f}(x'^2+y'^2)}=1} , ולכן:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U(x,y,f)=\frac{e^\frac{ik}{2f}(x^2+y^2)}{i\lambda f}\iint_{-\infty}^{\infty}U_0e^{-\frac{ik}{f}(xx'+yy')}dx'dy'}

כלומר, במרחק המוקד של העדשה, היא מבצעת התמרת פורייה לפונקציית הגל שמגיעה אליה, עם תוספת פאזה. אם המקור נמצא במרחק ${\displaystyle f}$ לפני העדשה, איבר הפאזה מתבטל ומתקבל טרנספורם פורייה בדיוק.

עבור עדשה מפזרת, מתקבל טרנספורם פורייה במרחק מוקד מהצד של המקור (מרחק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -f} ).