פולינומי צ'בישב

T₁, T₂, T₃, T₄, T₅

סדרת פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי פפנוטי צ'בישב) כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים ${\displaystyle T_{0}(x),T_{1}(x),\ldots }$ , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן ${\displaystyle p(x)}$ מקיים את אי־השוויון ${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}}$ , והפולינומים ${\displaystyle 2^{1-n}T_{n}(x)}$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\end{aligned}}}$

הגדרה ותכונות יסוד

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה ${\displaystyle T_{n}{\bigl (}\cos(\theta ){\bigr )}=\cos(n\theta )}$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

${\displaystyle {\begin{cases}T_{0}(x)=1\\T_{1}(x)=x\\T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\end{cases}}}$

מכאן נובע שמעלת פולינום צ'בישב ה־${\displaystyle n}$־י היא ${\displaystyle n}$ .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

$${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos {\bigl (}n\arccos(x){\bigr )}&:x\in [-1,1]\\\cosh {\bigl (}{\text{arcosh}}(x){\bigr )}&:x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh {\bigl (}n\,{\text{arcosh}}(-x){\bigr )}&:x\leq -1\end{cases}}}$$

מן ההגדרה נובע

$${\displaystyle T_{n}{\bigl (}T_{m}(x){\bigr )}=T_{n\cdot m}(x)}$$

וכן

$${\displaystyle T_{n}(1)=1,\qquad T_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^{n}}$$

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה

$${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}+\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}$$

ולקבל את הפונקציה היוצרת

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}}$$

מתקיים גם השוויון ${\displaystyle T_{n}(x)=1+n^{2}(x-1)\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+{\frac {x-1}{2\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)^{2}}}\right)}$ .

פולינומי צ'ביצ'ב ${\displaystyle \{T_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת ${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{1}(x)f_{2}(x)dx}$ .

השלכות לבניות גאומטריות

מכך שמעלת ${\displaystyle T_{n}}$ היא ${\displaystyle n}$ נובע כי ${\displaystyle \cos(\theta )}$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה ${\displaystyle \mathbb {Q} [\cos(n\theta )]}$ , ובפרט הממד ${\displaystyle {\bigl [}\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]{\bigr ]}\leq n}$ . אם בוחרים ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2n}}}$ מתקבל ${\displaystyle T_{n}{\bigr (}\cos(\theta ){\bigr )}=0}$ , ולעיתים קרובות ${\displaystyle T_{n}}$ הוא הפולינום המינימלי של ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2n}}\right)}$ .

ראו גם

• מסנני צ'בישב