פונקציה יוצרת

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה יוצרת היא כלי המשמש לטיפול בסדרות של מספרים, בדרך של איחודן לאובייקט אלגברי ואנליטי אחד, שממנו אפשר לקרוא את הסדרה כולה. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה ${\displaystyle \ a_{0},a_{1},a_{2},\dots }$ היא הטור ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots }$, כאשר ${\displaystyle \ x}$ הוא משתנה. מוגדרות גם פונקציות יוצרות מסוגים אחרים, בהתאם לשימוש הרצוי.

בשימושים קומבינטוריים מתייחסים לפונקציה היוצרת כאל אובייקט פורמלי, המוגדר גם כאשר הטור אינו מתכנס; הפונקציה אינה אלא "חבל כביסה", עליו אנו תולים סדרת מספרים לתצוגה"^[1]. במקרים אחרים, ובפרט בתורת המספרים האנליטית, משחקות התכונות האנליטיות של הפונקציה היוצרת תפקיד מרכזי. דוגמאות בולטת לפונקציות יוצרות בהקשר זה הן פונקציות זטא מסוגים שונים, ופונקציות תטא של תבניות ריבועיות.

סוגים של פונקציות יוצרות

תהי ${\displaystyle \ \left\{a_{n}\right\}_{n=0}^{\infty }}$ סדרה של מספרים.

1. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה (ולפעמים סתם "פונקציה יוצרת") היא טור החזקות ${\displaystyle \ G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$. בפונקציות כאלה משתמשים בקומבינטוריקה, וגם בתורת ההסתברות: אם X הוא משתנה מקרי שערכיו טבעיים (למשל, מספר השחפים המבקרים חופי אגם מסוים במשך יום), מצמידים לו פונקציה יוצרת לפי הנוסחה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G_X(x)=\sum_{n=0}^{\infty}Pr(X=n)x^n} . במקרה כזה ${\displaystyle \ G_{X}(1)=1}$, ומן הנגזרות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G_X} אפשר לקרוא את המומנטים: ${\displaystyle \ G_{X}'(1)}$ שווה לתוחלת של X, ובאופן כללי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G^{(k)}(1)} שווה לתוחלת של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{X!}{(X-k)!}} . הפונקציה היוצרת הצמודה לסכום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X+Y} שווה למכפלת הפונקציות היוצרות: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)} .
   רעיונות אלה ניתנים להכללה גם למספר רב של משתנים. למשל, הפונקציה היוצרת הסטנדרטית הצמודה למערך ${\displaystyle \ a_{n,m}}$ היא הפונקציה בשני משתנים, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G(x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n} .
2. פונקציה יוצרת אקספוננציאלית: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}} . מפונקציה כזו אפשר לקרוא ישירות את אברי הסדרה, על ידי גזירה n פעמים והצבת 0: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n=EG^{(n)}(0)} . הנגזרת של הפונקציה המתאימה לסדרה ${\displaystyle \ a_{0},a_{1},a_{2},\dots }$ היא הפונקציה המתאימה לסדרה המוזזת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ a_{1},a_{2},a_{3},\dots } .
3. טור דיריכלה. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}} .
4. פונקציה יוצרת פואסונית. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle PG(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}} , המשקללת את ערכי הסדרה עם ההסתברויות בהתפלגות פואסון.
5. סדרת לאמברט. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle LG(x)=\sum _{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^n}{1-x^n}} .
6. סדרת בל ${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}}$, משמשת בתורת המספרים האלמנטרית, במיוחד כאשר f הינה פונקציה אריתמטית ו־p מספר ראשוני.

ראו גם

• משפט החלוקה של אוילר

הערות שוליים