פונקציה עצמית

דוגמת שימוש בגזירה

מחלקה נפוצה לדוגמה היא אופרטורים דיפרנציאליים במרחב ^∞C של פונקציות אמתיות או מדומות, הגזירות אינסוף פעמים המהווים מחלקה של אופרטורים לינאריים על ארגומנט ממשי או מרוכב t. לדוגמה, נבחן את אופרטור הגזירה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}} עם משוואת ערך עצמי

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$

המשוואה הדיפרנציאלית שלמעלה, ניתנת לפתרון על ידי הכפלת שני הצדדים ב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\tfrac {dt}{f(t)}}} ואז ביצוע אינטגרציה. הפתרון שלה, הפונקציה המעריכית

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(t)=f_{0}e^{\lambda t},}

הוא פונקציה עצמית של אופרטור הנגזרת, כאשר f₀ הוא פרמטר התלוי בתנאי הגבול. נשים לב כי במקרה זה הפונקציה העצמית היא בעצמה הפונקציה של הערך העצמי המשויך אליה λ, אשר יכול לקבל כל ערך אמיתי או מרוכב. בפרט, נשים לב כי עבור λ = 0 את הפונקציה העצמית (f(t קבועה

נניח בדוגמה ש (f(t נתון לתנאי השפה (א) f(0) = 1 , (ב) 2 = עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{df}{dt}|_{t=0}} אם כך אנו מוצאים ש

${\displaystyle f(t)=e^{2t},}$

כאשר λ = 2 הוא הערך העצמי היחיד של המשוואה הדיפרנציאלית שגם עונה על תנאי הגבול.

קישור לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות

ניתן להביע פונקציות עצמיות כעמודה וקטורית ואופרטורים לינאריים ניתנים להבעה כמטריצות, אולם הם יכולים להיות בעלי ממדים אינסופיים. כתוצאה מכך, רבים מהמושגים הקשורים לוקטורים עצמיים של מטריצות דורשים מחקר של פונקציות עצמיות.

להגדיר את המכפלה הפנימית בתוך מרחב הפונקציות כל D מוגדר

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }dt\ f^{*}(t)g(t),}$

אינטגרל על טווח של  t הנקרא Ω.

נניח שלמרחב הפונקציות בסיס אורתונורמלי הנתון על ידי קבוצת פונקציות {(u₁(t), u₂(t), ..., u_n(t}, כאשר n יכול להיות אינסופי. עבור בסיס אורתונורמלי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle u_i,u_j \rangle = \int_{\Omega} dt\ u_i^*(t)u_j(t) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i \ne j \end{cases},}

כאשר δ_ij היא הדלתא של קרונקר , ויכולה להיחשב כאלמנטים של מטריצת היחידה.

פונקציות יכולות להיכתב כצרוף לינארי של פונקציות הבסיס,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(t) = \sum_{j=1}^n b_j u_j(t),}

לדוגמה בעזרת התמרת פורייה של (f(t. המקדמים b_j יכולים להערם לוקטור עמודה (n על 1), כלומר  b = [b₁ b₂ ... b_n]^T. במקרים מיוחדים, כגון המקדמים של סדרת פורייה של פונקציית סינוס, לוקטור העמודה יש מימד סופי.

בנוסף, נגדיר ייצוג מטריציוני של האופרטור הלינארי D עם אלמנטים

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{ij} = \langle u_i,Du_j \rangle = \int_{\Omega} dt\ u^*_i(t)Du_j(t).}

אנחנו יכולים לכתוב את הפונקציה (Df(t כצירוף לינארי של פונקציות הבסיס או כ D הפועל על ההרחבה של (f(t,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Df(t) = \sum_{j=1}^n c_j u_j(t) = \sum_{j=1}^n b_j Du_j(t).}

אם לוקחים את החלק הפנימי של כל צד של המשוואה עם בסיס שרירותי של פונקציות (ui(t,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t),\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}}$

זהו כפל מטריצה Ab = c הכתוב כסכימה והוא המקביל המטריצי של האופרטור D הפועל על הפונקציה (f(t ומובע בעזרת הבסיס האורתונורמלי. אם (f(t היא פונקציה עצמית של D עם ערך עצמי λ, אז Ab = λb.

ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות של אופרטורים הרמיטיים

רבים מהאופרטורים שפוגשים בפיזיקה הם הרמיטיים. נניח את אופרטור לינארי D הפועל על מרחב פונקציות המהווה מרחב הילברט עם בסיס אורתונורמלי הנתון על ידי קבוצת פונקציות {u₁(t), u₂(t), ..., u_n(t}, כאשר n יכול להיות אינסופי. בבסיס זה, לאופרטור D יש מטריצת ייצוג A עם אלמנטים

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{ij} = \langle u_i,Du_j \rangle = \int_{\Omega} dt\ u^*_i(t)Du_j(t).}

אינטגרל על טווח של t הנקרא Ω.

באנלוגיה עם מטריצות הרמיטיות, D הוא אופרטור הרמיטי אם *A_ij = A_ji, או^[6]

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \langle u_i,Du_j \rangle &= \langle Du_i,u_j \rangle, \\ \int_{\Omega} dt\ u^*_i(t)Du_j(t) &= \int_{\Omega} dt\ u_j(t)[Du_i(t)]^*. \end{align}}

נשקול את האופרטור ההרמיטי D עם ערכים עצמיים ... ,λ₁, λ₂, הפונקציות העצמיות המקבילות ... ,(f₁(t), f₂(t. לאופרטור ההרמיטי יש את התכונות הבאות:

• הערכים העצמיים שלו אמיתיים, λi* = λi^[4][6]
• הפונקציות העצמיות שלו מקיימות תנאי אורתוגונליות תנאי, 0=${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle }$  אם i≠j^[6][7][8]

התנאי השני תמיד טומן בחובו  λ_i ≠ λ_j . בשביל פונקציות עצמיות מנוונות עם אותו ערך עצמי λ_i, ניתן תמיד למצוא פונקציות עצמיות אורתוגונליות שיפרשו  את המרחב העצמי הקשור ל λ_i, למשל באמצעות תהליך גרם-שמידט.^[5] כתלות ברציפות או בדידות הספקטרום, הפונקציות העצמיות יכולות להיות מנורמלות על ידי הגדרת תוצר פנימי של פונקציות עצמיות השווה לדלתא של קרונקר או פונקציית הדלתא של דיראק, בהתאמה.^[8][9]

עבור אופרטורים הרמיטיים רבים, כגון אופרטורים של שטורם-ליוביל, תכונה שלישית היא

• הפונקציות העצמיות יוצרות בסיס של מרחב הפונקציות שבו האופרטור מוגדר^[5]

כתוצאה מכך, במקרים חשובים רבים, הפונקציות העצמיות של אופרטור הרמיטי יוצרות בסיס אורתונורמלי. במקרים אלו, פונקציה שרירותית יכולה צירוף לינארי של הפונקציות העצמיות של האופרטור ההרמיטי.

מיתרים רוטטים

צורה של גל עומד במיתר הקבוע בשני קצותיו הוא דוגמה של פונקציה עצמית של אופרטור דיפרנציאלי. הערכים העצמיים הקבילים נקבעים על ידי אורך המיתר, וקובעים את תדירות התנודה.

אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x, t)}  מציין את המרחק האנכי של מיתר אלסטי מתוח, כגון מיתרים רוטטים של כלי מיתר, כפונקציה של המיקום x לאורך החוט, ושל הזמן t. החלת חוקי המכניקה לחלקים האינפיניטסימליים של המיתר, הפונקציה h עונה על המשוואה הדיפרנציאלית החלקית

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$

הנקראת משוואת הגלים (בחד ממד). כאן c היא מהירות קבועה, התלויה במתח ומסת החוט.

בעיה זו פועלת על פי עקרונות ההפרדת משתנים. אם נניח כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x, t)} יכול להיכתב כתוצר מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle X(x)T(t)} , אנו יכולים ליצור זוג משוואות דיפרנציאליות רגילות:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.}$

כל אחת היא משוואת ערך עצמי עם ערכים עצמיים ${\displaystyle -{\tfrac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ ו ω², בהתאמה. עבור כל הערכים של ω ו - c, המשוואות מקויימות על ידי הפונקציות

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X(x) = \sin\left(\frac{\omega x}{c} + \varphi\right), \qquad T(t) = \sin(\omega t + \psi),}

כאשר זוויות הפאזה φ ו ψ הם קבועים שרירותיים אמיתיים.

אם נכפה תנאי סף, לדוגמה שקצות המיתר מקובעים ב x = 0, וב  x = L כלומר X(0) = X(L) = 0 וגם ש T(0) = 0 מקבעים את הערכים העצמיים. עבור תנאי סף אלו, sin(φ) = 0 וגם sin(ψ) = 0 לכן זוויות הפאזה φ = ψ = 0 וגם 

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.}

תנאי הגבול האחרון מחייב את  ω לקחת את הערך

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_n = \frac{nc\pi}{L}}

, שבו n הוא כל מספר שלם. לפיכך, המיתר המהודק תומך במשפחה של גלים עומדים של מהצורה

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).}

בדוגמה של כלי זמר בעלי מיתרים, התדירות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_n} הוא התדירות של ההרמוניה ה- n^th, אשר נקראת הצליל העילי הצליל עילי ה n − 1)^th).

משוואת שרדינגר

ערך מורחב – משוואת שרדינגר

במכניקת הקוונטים, משוואת שרדינגר

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = H \Psi(\mathbf{r},t)}

עם אופרטור המילטוניאן

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)}$

ניתנת לפתרון על ידי הפרדת משתנים, אם ההמילטוניאן אינו תלוי במפורש בזמן.^[10] במקרה זה, פונקציית הגל (Ψ(r,t) = φ(r)T(t מובילה לשתי משוואות דיפרנציאליות,

שתי המשוואות הדיפרנציאליות הן משוואות עצמיות, עם ערך עצמי E. כפי שמוצג בדוגמה הקודמת, את הפתרון של המשוואה הוא מעריכי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T(t) = e^\tfrac{-iEt}{\hbar}.}

משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן. הפונקציות העצמיות φ של אופרטור ההמילטוניאן הן מצבים יציבים של המערכת הקוונטית , כל אחד עם המקבילה האנרגטית E_k. הם מייצגים ערכים מותרים מצבים אנרגטיים של המערכת, ועשויים להיות מוגבלים על ידי תנאי השפה.

אופרטור ההמילטוניאן H הוא דוגמה של אופרטור הרמיטי שלו פונקציות עצמיות היוצרים בסיס אורתונורמלי. כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי מפורשות בזמן, פתרונות כלליים של משוואת שרדינגר הם קומבינציה לינארית המצבים היציבים מוכפלים באוסילטור (T(t),^[11]

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi(\mathbf{r},t) = \sum_k c_k \varphi_k(\mathbf{r}) e^\tfrac{-iE_kt}{\hbar} }

או, עבור מערכת עם ספקטרום רציף,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi(\mathbf{r},t) = \int dE c_E \varphi_E(\mathbf{r}) e^\tfrac{-iEt}{\hbar}.}

ההצלחה של משוואת שרדינגר להסביר את מאפייני הספקטרום של מימן נחשב לאחד ההישגים הגדולים ביותר של הפיזיקה במאה ה-20.

אותות ומערכות

במחקר של אותות ומערכות, פונקציה עצמית של מערכת היא אות (f(t , אשר כאשר נקלט למערכת, מייצר תגובה (y(t) = λf(t, כאשר λ הוא ערך עצמי מורכב סקלרי.^[12]