פירוק QR

באלגברה לינארית ובאנליזה נומרית, פירוק QR הוא פירוק של מטריצה A למכפלה ${\displaystyle A=QR}$ כאשר המטריצה Q היא מטריצה אורתוגונלית ו-R היא מטריצה משולשית עליונה. ניתן לשים לב שהמטריצה Q מהווה בסיס למרחב הנפרס על ידי העמודות של A. בנוסף בגלל ש-R מטריצה משולשית, k העמודות הראשונות של Q מהוות בסיס למרחב הנפרש על ידי k העמודות הראשונות של A. פירוק QR הינו מקרה פרטי של פרוק יווסווה.

הגדרה פורמלית

עבור מטריצה A מלבנית מרוכבת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \in M_{ m \times n}(\mathbb{C}) } כאשר m ≥ n, קיימת מטריצה אוניטרית Q בגודל ${\displaystyle m\times m}$ ומטריצה משולשית עליונה R בגודל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \times n } (m-n השורות האחרונות הן שורות אפסים) כך ש ${\displaystyle A=QR}$ .

חישוב הפירוק

אחת הדרכים לקבל פירוק QR היא בתהליך גרם-שמידט, חיסרון של שיטה זו הוא חוסר היציבות הנומרי של תהליך גרם-שמידט. בשביל לפתור את בעיית היציבות, ניתן להשתמש בתהליך גרם-שמידט המשופר או בשיקופי Householder.

לקריאה נוספת

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013), Matrix Computations (4th ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-1421407944.