פסאודו-ספירה

		יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
		הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.	עריכה

בגאומטריה, המונח פסאודו-ספירה משמש כדי לתאר מגוון משטחים עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה, כלומר דמויי "אוכף" בכל מקום.

המונח זכה לשמו משום שממלא בגאומטריה ההיפרבולית תפקיד דומה לזה שממלא הכדור בגאומטריה אליפטית (לכדור יש עקמומיות גאוס חיובית קבועה).

פסאודו-ספירה תאורטית

במובן הכללי ביותר שלה, הפסאודו-ספירה ברדיוס ${\displaystyle R}$ הוא כל משטח עם עקמומיות גאוס ${\displaystyle -{\frac {1}{R^{2}}}}$ , באנלוגיה לכדור עם רדיוס ${\displaystyle R}$ , שהוא משטח עם עקמומיות ${\displaystyle {\frac {1}{R^{2}}}}$ .

המונח נטבע על ידי אוגניו בלטרמי במאמרו מ-1868 על מודלים של גאומטריה היפרבולית.

טרקטריקויד

טרקטריקויד

המונח משמש כדי להתייחס למשטח מסוים שנקרא טרקטריקויד: התוצאה של סיבוב עקום הטרקטריקס מסביב לאסימפטוטה שלו. כדוגמה, חצי הפסאודו-ספירה (ברדיוס 1) הוא משטח סיבוב הניתן לתיאור פרמטרי באופן הבא:

${\displaystyle t\mapsto {\bigl (}t-\tanh(t),{\text{sech}}(t){\bigr )}\ ,\ 0\leq t<\infty }$

זהו משטח עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה ולכן הוא איזומטרי מקומית למישור ההיפרבולי.

תכונות

• בניית הקווים הנורמלים למשטח בעלת עקמומיות גאוס שלילית קבועה (הפסאודו-ספירה) מייצרת מעטפת שהיא בהכרח משטח מינימלי (minimal surface); משטח שממזער את שטח הפנים שלו בהינתן תנאי שפה נתונים. כיוון שמעטפת הקווים הנורמלים של משטח היא למעשה האוולוט שלו, הוכחה לטענה זאת היא דרך הכללת המשפטים המתארים אוולוטים של עקומות במישור לכדי אוולוטים של משטחים במרחב; במקרה של משטח מרחב, אלמנט השטח המתאים של משטח האוולוט עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dA} הוא ${\displaystyle dR_{1}\cdot dR_{2}}$, כאשר ${\displaystyle R_{1},R_{2}}$ הם רדיוסי העקמומיות הראשיים של המשטח המקורי בנקודה.

עובדה זאת היא הגרסה המרחבית למשפט הקובע שאורך האוולוט של עקום מישורי שווה להפרש בין רדיוסי העקמומיות שלו בנקודות הקצה שלו. מהכללה זאת ומהעובדה שהמכפלה ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$ קבועה על הפסאודו-ספירה (בהתאם להגדרת עקמומיות גאוס), מקבלים ששטח האוולוט שלה הוא בהכרח אקסטרמלי. לפיכך האוולוט של גוף הסיבוב של הטרקטריקס הוא בהכרח קטנואיד; המשטח המינימלי הלא-טריוויאלי היחיד בעל סימטריה גלילית. מלקיחת חתך מישורי של גופי הסיבוב הללו, מקבלים תוצאה חשובה אחרת – האוולוט של הטרקטריקס הוא קו השרשרת.

• שטח הפנים הכולל של פסאודו-ספירה ברדיוס ${\displaystyle R}$ הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\pi R^2} , בדומה לכדור ברדיוס ${\displaystyle R}$ , בעוד שנפח הפסאודו-ספירה הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{2\pi}{3}R^3} , כמחצית מנפח כדור ברדיוס ${\displaystyle R}$ .