קבוע קטלן

במתמטיקה, קבוע קטלן (על שם המתמטיקאי אז'ן שרל קטלן) הוא מספר המוגדר על ידי

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots }$

כאשר ${\displaystyle \beta }$ פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע עם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי או לא. נכון ל-7 ביוני 2015, ידועים כ-200,000,001,100 ספרות אחרי הנקודה.

הגדרות נוספות

${\displaystyle {\begin{aligned}G&=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+(xy)^{2}}}\,dx\,dy\\&=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\\&=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\\&=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin(t)\cos(t)}}\,dt\\&={\frac {1}{4}}\int \limits _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin(t)}}\,dt\\&=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln(\cot(t))dt\\&=\int \limits _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}{\text{K}}(t)dt\end{aligned}}}$

• כאשר ${\displaystyle {\text{K}}(t)}$ האינטגרל האליפטי.

${\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int \limits _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\tfrac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\tfrac {x}{2}}\right)dx={\frac {\pi }{2}}\int \limits _{0}^{\tfrac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)dy\\&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left({\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}\right)\\&\quad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}+{\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}\right)\\&={\tfrac {\pi }{8}}\log {\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}\end{aligned}}}$

שימושים

על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G\end{aligned}}}$

מספרים אי-רציונליים נודעים
מספרים אלגבריים	2√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δAg • היחס הפלסטי 𝜌
מספרים טרנסצנדנטיים	בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל
מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הם אלגבריים או טרנסצנדנטיים	קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין
טריגונומטריה	קבועים טריגונומטריים מדויקים