קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה ${\displaystyle \ A}$ היא קבוצת כל תת הקבוצות של ${\displaystyle \ A}$, ומסמנים אותה ב- ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$. פורמלית ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\left\{x|x\subseteq A\right\}}$, ולדוגמה: ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(\left\{x,y\right\}\right)=\left\{\emptyset ,\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}}$. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות

• כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
• ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי ${\displaystyle \ A}$ שווה ל- ${\displaystyle \ 2^{|A|}}$ (שתיים בחזקת עוצמת ${\displaystyle \ A}$), ובניסוח מתמטי: ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}(A)\right|=2^{|A|}}$. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של ${\displaystyle \ A}$ בסימון ${\displaystyle \ 2^{|A|}}$.
• קבוצת החזקה של ${\displaystyle \ A}$ איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות: ${\displaystyle \ \lbrace 0,1\rbrace ^{A}=\lbrace 1_{x}:A\to \lbrace 0,1\rbrace |x\subseteq A\rbrace }$ ולכן הסימון ${\displaystyle \ 2^{|A|}}$ לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם ${\displaystyle \ 2^{|A|}=|\lbrace 0,1\rbrace ^{A}|}$)
• משפט קנטור מראה כי אי השוויון ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}(A)\right|>|A|}$ שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה ${\displaystyle \ A}$.

ראו גם

• הפרדוקס של קנטור
• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

• קבוצת החזקה, באתר MathWorld (באנגלית)