תחום כוכבי

באנליזה וקטורית, תחום כוכבי הוא תחום השומר על ישרים סביב נקודת אמצע מסוימת. תחום כזה קרוי תחום כוכבי, מפני שניתן לדמיין אותו במישור הממשי כמעין כוכב.

השימוש הנפוץ בתחום מסוג זה הוא בלמת פואנקרה, הקובעת כי כל תבנית דיפרנציאבילית סגורה היא גם מדויקת בתחום פתוח וכוכבי.

הגדרה פורמלית

נאמר כי ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ הוא תחום כוכבי, אם קיימת ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ כך שלכל ${\displaystyle x\in \Omega }$ הישר שבין ${\displaystyle x_{0}}$ ל־${\displaystyle x}$ מוכל כולו בתחום, כלומר ${\displaystyle {\bigl \{}x_{0}+t(x-x_{0}):t\in [0,1]{\bigr \}}\subseteq \Omega }$ . הנקודה ${\displaystyle x_{0}}$ מכונה הכוכב של ${\displaystyle \Omega }$ .

דוגמאות

• בישר הממשי, כל קטע הוא תחום כוכבי.
• כל תחום קמור הוא כוכבי.
• כל תחום כוכבי הוא כוויץ, ולכן בפרט פשוט קשר וקשיר מסילתית.
• משפט אלכסנדר נותן תנאי הכרחי ומספיק להיותם של תחומים מסוימים כוכביים.
• אוסף הכוכבים של תחום כוכבי הוא קבוצה קמורה.

ראו גם

• תבנית דיפרנציאלית
• קבוצה קמורה

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.