תבנית דיפרנציאלית

באנליזה וקטורית, תבנית דיפרנציאלית (מאנגלית - Differential form), היא מעין הכללה של פונקציה ממשית המביאה דרך להסתכל על פונקציה כ"מפוצלת" במספר כיוונים שונים בלתי תלויים. היא מאפשרת להכליל אינטגרלים ולחשבם על סוגים שונים של יריעות במרחב האוקלידי. תבניות דיפרנציאליות הן מושג בסיסי באנליזה מתמטית, ויש להן שימושים רבים בתחומים שונים, כמו גאומטריה ופיזיקה.

הגדרה

באופן כללי, ניתן לדבר על תבנית k-דיפרנציאלית (וכשההקשר ברור נאמר פשוט תבנית k) במרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} , כאשר ${\displaystyle k\leq n}$ מספרים טבעיים כלשהם, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega \subset { \mathbb {R} }^{ n }} .

נאמר שפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:{ ({ \mathbb {R} }^{ n }) }^{ k }\rightarrow \mathbb {R}} היא חילופית, אם לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { v }_{ 1 },...,{ v }_{ k }\in { \mathbb {R} }^{ n }} ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\le i<j\le k} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f({ v }_{ 1 },..,{ v }_{ i },..,{ v }_{ j },..,{ v }_{ k })=-f({ v }_{ 1 },..,{ v }_{ j },..,{ v }_{ i },..,{ v }_{ k })} .

נאמר ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא פונקציה מולטילינארית, אם לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { v }_{ 1 },...,{ v }_{ k },w \in { \mathbb {R} }^{ n };a,b\in \mathbb {R}} ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\le i\le k} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f({ v }_{ 1 },...,a{ v }_{ i }+bw,...,{ v }_{ k })=af({ v }_{ 1 },...,{ v }_{ i },...,{ v }_{ k })+bf({ v }_{ 1 },...,w,...,{ v }_{ k })} .

נסמן את מרחב הפונקציות ה-k מולטילינאריות ומתחלפות ב-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\Lambda }^{k}({\mathbb {R} }^{n})} . קבוצה זו היא מרחב וקטורי מעל הממשיים.

אם כן, תבנית k-דיפרנציאלית היא פונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega :\Omega \rightarrow { \Lambda }^{ k }({ \mathbb {R} }^{ n })} .

מגדירים גם תבנית 0-דיפרנציאלית פשוט על ידי ${\displaystyle \omega =f(x)}$ כאשר f פונקציה ממשית שתחומה ${\displaystyle \Omega }$.

מבנה כללי

ההגדרה לעיל נראית מסובכת ולא פרקטית. אך בפועל, לתבניות יש מבנה נוח למדי.

לצורך מציאת מבנה זה, נכליל את ההטלות ממשתנה אחד לכמה משתנים, באופן הבא: לכל אינדקסים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\le { i }_{ 1 }<{ i }_{ 2 }<...<{ i }_{ k }\le n} נגדיר תבנית k : עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { \pi }_{ { i }_{ 1 },{ i }_{ 2 },...,{ i }_{ k } }({ v }^{ 1 },...,{ v }^{ k })=\det\begin{pmatrix} { { v }^{ 1 } }_{ { i }_{ 1 } } & ... & { { v }^{ k } }_{ { i }_{ 1 } } \\ ... & ... & ... \\ { { v }^{ 1 } }_{ { i }_{ k } } & ... & { { v }^{ k } }_{ { i }_{ k } } \end{pmatrix}}

(כאשר det היא הדטרמיננטה), שתקרא ההטלה לפי האינדקסים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { i }_{ 1 },{ i }_{ 2 },...,{ i }_{ k }} ב-${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$. נהוג גם לסמן תבנית זו על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge { dx }_{ { i }_{ 2 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } }} , כאשר ${\displaystyle \wedge }$ מכונה "wedge product" (ראו "פעולות על תבניות" בהמשך).

ניתן להוכיח כי הקבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{ { \pi }_{ { i }_{ 1 },{ i }_{ 2 },...,{ i }_{ k } }: 1\le { i }_{ 1 }<{ i }_{ 2 }<...<{ i }_{ k }\le n\} } היא בסיס ל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\Lambda }^{k}({\mathbb {R} }^{n})} , ובפרט ממדו הוא המקדם הבינומי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tbinom nk } .

אם כן, כל תבנית k ניתן לרשום מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },{ i }_{ 2 },...,{ i }_{ k } }{ \pi }_{ { i }_{ 1 },{ i }_{ 2 },...,{ i }_{ k } } } =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },{ i }_{ 2 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge { dx }_{ { i }_{ 2 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } } כאשר הסכום הוא על כל האינדקסים הסדורים, ו-${\displaystyle {\omega }_{{i}_{1},{i}_{2},...,{i}_{k}}}$ פונקציות ממשיות שתחומן הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega \subset { \mathbb {R} }^{ n }} .

דוגמאות

• במקרה k=n=1, תבנית -1 כללית היא מהצורה ${\displaystyle fdx}$, כאשר f פונקציה ממשית.

• תבנית-1 כללית בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathbb {R} }^{ n }} היא מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { f }_{ 1 }d{ x }_{ 1 }+...+{ f }_{ n }d{ x }_{ n }} , כאשר ${\displaystyle {f}_{1},...,{f}_{n}}$ פונקציות ממשיות.

• תבנית-2 כללית בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathbb {R}} ^{ 3 }} היא מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x,y,z)dy\wedge dz+Q(x,y,z)dz\wedge dx+R(x,y,z)dx\wedge dy} , כאשר P,Q,R פונקציות ממשיות.

פעולות על תבניות

• סכום

אם ${\displaystyle \omega =\sum {{\omega }_{{i}_{1},...,{i}_{k}}{dx}_{{i}_{1}}\wedge ...\wedge {dx}_{{i}_{k}}};\tau =\sum {{\tau }_{{i}_{1},...,{i}_{k}}{dx}_{{i}_{1}}\wedge ...\wedge {dx}_{{i}_{k}}}}$ שתי תבניות-k, אז החיבור ביניהן מוגדר באופן הטבעי - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega +\tau =\sum { ({ \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }+{ \tau }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }){ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } } .

• מכפלה

אם ${\displaystyle \omega =\sum {{\omega }_{{i}_{1},...,{i}_{k}}{dx}_{{i}_{1}}\wedge ...\wedge {dx}_{{i}_{k}}}}$ תבנית-k, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau =\sum { { \tau }_{ { j }_{ 1 },...,{ j }_{ l } }{ dx }_{ { j }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { j }_{ l } } } } תבנית-l, אז מכפלת התבניות היא תבנית-k+l המוגדרת כך: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega \wedge \tau =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ \tau }_{ { j }_{ 1 },...,{ j }_{ l } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } \wedge { dx }_{ { j }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { j }_{ l } }}

למשל, ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}} מתקיים ${\displaystyle (xdy+zdx)\wedge dz=xdy\wedge dz+zdx\wedge dz}$.

• דיפרנציאל

פעולה זו מכלילה את הדיפרנציאל של פונקציה ממשית לתבניות דיפרנציאליות.

נאמר שתבנית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega =\sum { { \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }{ dx }_{ { i }_{ 1 } }\wedge ...\wedge { dx }_{ { i }_{ k } } } } היא תבנית דיפרנציאבילית אם הפונקציות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { \omega }_{ { i }_{ 1 },...,{ i }_{ k } }} כולן דיפרנציאביליות. אם כך, מגדירים את הדיפנציאל של התבנית להיות ה-k+1 תבנית הבאה: ${\displaystyle d\omega =\sum {d{\omega }_{{i}_{1},...,{i}_{k}}{dx}_{{i}_{1}}\wedge ...\wedge {dx}_{{i}_{k}}}=\sum {\sum _{t=1}^{n}{{\frac {{\partial \omega }_{{i}_{1},...,{i}_{k}}}{\partial {x}_{t}}}d}{x}_{t}\wedge {dx}_{{i}_{1}}\wedge ...\wedge {dx}_{{i}_{k}}}}$.

תבנית נקראת מדויקת, אם היא דיפרנציאל של תבנית אחרת. תבנית נקראת סגורה, אם הדיפרנציאל שלה שווה זהותית לאפס.

תכונות

• חילופיות החיבור - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega +\tau =\tau +\omega } .

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { dx }_{ i }\wedge { dx }_{ i }=0} .

• אנטי סימטריות הכפל - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { dx }_{ i }\wedge { dx }_{ j }=-{ dx }_{ j }\wedge { dx }_{ i }} .

• אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} תבנית-k ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} תבנית-l, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega \wedge \tau ={ (-1) }^{ kl }\tau \wedge \omega } . בפרט, אם k=l מספר אי זוגי, מתקבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\omega}^{2}=0} .

• אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} תבנית-k ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} תבנית-l שתיהן דיפרנציאביליות, מתקיים כלל לייבניץ המוכלל לתבניות - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(\omega \wedge \tau )=\tau d\omega +{ (-1) }^{ k }\omega d\tau } .

• אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} תבנית-k גזירה ברציפות פעמיים, מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(d(\omega ))=0} .

• כל תבנית דיפרנציאבילית מדויקת היא סגורה. ההפך נכון בתחום כוכבי, לפי למת פואנקרה.

ראו גם

• אנליזה וקטורית
• משפט סטוקס