תת-מרחב שמור

באלגברה לינארית תת-מרחב שמור של העתקה לינארית T, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה T שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. תת-מרחב כזה נקרא גם "תת-מרחב T אינווריאנטי".

אם W תת-מרחב שמור של T אז ניתן לצמצם את T לW ולקבל: ${T|}_{W}\colon W\to W$

הגדרה

יהי $W$ תת-מרחב ב- $V$ ותהי : $T:V\to V$ העתקה לינארית. נאמר ש $W$ תת-מרחב שמור T של $V$ אם $\ T(W)\subseteq W$ .

תהי $A$ מטריצה ריבועית מסדר n מעל שדה $\ \mathbb {F}$ נאמר ש $W$ תת-מרחב שמור A של $\ \mathbb {F} ^{n}$ אם לכל $\ w\in W$ מתקיים $Aw\in W$

דוגמה פשוטה

נגדיר העתקה לינארית באופן הבא: $T(x,y,z)=(x+2y+z,3x+4y-z,5z)$ אזי תת-המרחב $W:=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ הוא תת-מרחב שמור T, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של T עליו באופן הבא: ${T|}_{W}(x,y)=(x+2y,3x+4y)$

דוגמאות נוספות

יהי $V$ מרחב וקטורי ו $T:V\to V$ העתקה לינארית, אזי:

$V$ עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי T.
אם $\lambda$ ערך עצמי של T, אזי המרחב העצמי של $\lambda$ הוא שמור T
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ImT} וגם $KerT$ תתי-מרחב שמורי T

תכונות

משפט הפירוק היסודי (פרימרי)

יהי $V$ מרחב וקטורי בעל מימד סופי, $T:V\to V$ העתקה לינארית ו $p$ הפולינום המינימלי של T, נוכל להציג את $p$ כמכפלה של גורמים אי פריקים $\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{r_{i}}$ .

אזי $V=Ker~{p_{1}}^{r_{1}}\oplus \cdots \oplus Ker~{p_{n}}^{r_{n}}$ פירוק ישר של $V$ לתתי-מרחב שמורי T.

בנוסף אם T לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של T.

פעולות על המרחב

יהי $U,W$ תתי-מרחב שמורי T של $V$ , אזי:

$U\cap W$ תת-מרחב שמור T.
$U\oplus W$ תת-מרחב שמור T.
אם $W$ מרחב עצמי של T, אזי כל תת-מרחב של $W$ , הוא תת-מרחב שמור T.

תת-מרחב ציקלי

יהי $v\in V$ וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו $T:V\to V$ העתקה לינארית. אזי קיים $k$ , כך ש $B=\{v,Tv,T^{2}v,...,T^{k-1}v\}$ קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} אשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של V ביחס ל-T ול-v, והוא תת-מרחב שמור הT הקטן ביותר המכיל את $v$ .

הטלות

ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי $V$ מרחב וקטורי מימד n המחולק לסכום ישר של k≤n תתי-מרחב, לכל תת-מרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_i} נצמיד הטלה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_i} , אזי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_i} הם שמורי T אם ורק אם $TE_{i}=E_{i}T$ לכל i.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.