אוריינטציה יחסית

בטופולוגיה, אוריינטציה יחסית היא גרסה של מושג האוריינטציה שניתן להגדיר עבור העתקות מסוימות בין יריעות (ולפעמים אף מרחבים טופולוגיים). האוריינטציה היחסית מודדת, אינטואיטיבית, את מה שחסר לבניית ארויינטציה על $M$ בהינתן אוריינטציה על עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} והעתקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:M\to N} .

את האוריינטציה היחסית של העתקה חלקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:M\to N} בין יריעות חלקות אפשר להגדיר בשני מקרים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} היא אימרסיה (immersion)
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} היא סובמרסיה (submersion)

בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad \mathcal Orient_{M/N} ,\quad \Omega_{M/N}}

כל אלה יהיו אובייקטים מעל $M$ .

לכל אחד מהמקרים למעלה יש גרסה כללית יותר שכוללת העתקות בין יריעות ללא מבנה חלק ואף העתקות בין מרחבים טופולוגיים. גם במקרים אלו ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית.

המקרה החלק

המקרה של אימרסיה

העתקה חלקה $\phi :M\to N$ נקראת אימרסיה (או הטבעה) אם הדיפרנציאל $d_{x}\phi$ שלה בכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} הוא חד-חד-ערכי. לפי משפט הפונקציות הסתומות תנאי זה שקול לכך שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} קיימת סביבה פתוחה $U\subset M$ עבורה $\phi (U)$ היא תת-יריעה סגורה מקומית (Locally closed) והצמצום (Restriction) $\phi |_{U}:U\to \phi (U)$ הוא דיפאומורפיזם.

במקרה כזה ניתן להגדיר את אגד נורמלי (Normal bundle) עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Norm_M^N} ל- $M$ בתוך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ע"י $Norm_{M}^{N}:=\phi ^{*}(T(N))/Im(d\phi )$ כאשר אנו מתייחסים לדיפרנציאל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\phi} בתור העתקה מהאגד המשיק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T(N)} למשיכה לאחור (Pullback bundle) עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi^*(T(N))} של האגד המשיק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T(N)} .

הגדרה: אוריינטציה יחסית על $M$ (ביחס לעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ) היא אוריינטציה על האגד הנורמלי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Norm_M^N} .

המקרה של סובמרסיה

העתקה חלקה $\phi :M\to N$ נקראת סובמרסיה אם הדיפרנציאל $d_{x}\phi :T_{x}(M)\to T_{p(x)}M$ שלה בכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} הוא על. לפי משפט הפונקציות הסתומות תנאי זה שקול לכך שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in M} קיימת סביבה פתוחה $U\subset M$ עבורה $\phi (U)$ היא קבוצה פתוחה והצמצום $\phi |_{U}:U\to \phi (U)$ ניתן לפירוק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\circ i} כאשר

$i:U\to \phi (U)\times \mathbb {R} ^{\dim M-\dim N}$ הוא דיפאומורפיזם.
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p: \phi(U) \times \R^{\dim M-\dim N} \to \phi(U)} היא ההטלה.

במקרה כזה נתבונן בגרעין עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ker(d\phi )} בתור תת-אגד של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T(M)} .

הגדרה: אוריינטציה יחסית על $M$ (ביחס לעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ) היא אוריינטציה על האגד עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ker(d\phi )} .

המקרה הכללי

ערך מורחב – אוריינטציה על יריעה טופולוגית

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi:X \to Y} העתקה רציפה של מרחבים טופולוגיים. באופן אנלוגי למקרה החלק, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים $orient_{X/Y},Orient_{X/Y},{\mathcal {O}}rient_{X/Y}$ ) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים:

האנלוג של אימרסיה:

לכל

x\in X

קיימת סביבה פתוחה

U\subset M

ומספר טבעי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} עבורה

\phi (U)

היא תת-קבוצה סגורה מקומית (Locally closed subset) והצמצום

\phi |_{U}:U\to Y

ניתן לפירוק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h\circ i} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i:U\to U \times \R^{k}} הוא השיכון הסטנדרטי ו-

h:U\times \mathbb {R} ^{k}\to Y

הוא הומיאומורפיזם לתמונה.

האנלוג של סובמרסיה:

לכל

x\in X

קיימת סביבה פתוחה

U\subset X

ומספר טבעי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} עבורה

\phi (U)

היא קבוצה פתוחה והצמצום

\phi |_{U}:U\to \phi (U)

ניתן לפירוק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\circ h} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h:U\to \phi(U) \times \R^{k}} הוא הומיאומורפיזם ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p: \phi(U) \times \R^{k} \to \phi(U)} הוא ההטלה.

נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעיתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y} אינם יריעות.

קשר בין אוריינטציה יחסית ואוריינטציה

בהינתן אוריינטציה על עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ואוריינטציה יחסית על $M$ ניתן להגדיר אוריינטציה על $.M$ התאמה זאת מקומית, כך שניתן להגדיר איזומורפיזם

\phi ^{*}({\mathcal {O}}rient_{N})\otimes {\mathcal {O}}rient_{M/N}\cong {\mathcal {O}}rient_{M}

ובאופן דומה^[1] גם איזומורפיזמים

\phi ^{*}(Orient_{N})\otimes Orient_{M/N}\cong Orient_{M},\,\phi ^{*}(\Omega _{N})\otimes \Omega _{M/N}\cong \Omega _{M},\,\phi ^{*}(D_{N})\otimes D_{M/N}\cong D_{M}

במקרה החלק כל האיזומורפיזמים האלה מבוססים על ההבחנה הבאה: בהינתן סדרה מדויקת קצרה של מרחבים לינאריים

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 0\to V\to W\to L\to 0}

קיים איזומורפיזם טבעי

\Omega ^{top}(L)\otimes \Omega ^{top}(V)\cong \Omega ^{top}(W)

הערה: האיזומורפיזמים האלה מכלילים את מושג האוריינטציה המושרית על היפר-משטח. לכן כמוהו הם תלויים במוסכמות סימן. מוסכמות אלו מורכבות יותר מאשר במקרה של היפר-משטח ואין להן גרסה מקובלת יחידה. מצב זה גורם לעיתים לבלבולים וטעויות^[4]. מטבע הדברים טעויות אלו הן טעויות סימן, ולכן בדרך כלל אינן משמעותיות.

הערות שוליים

↑ שני האיזומורפיזמים האחרונים מוגדרים רק עבור המקרה החלק
↑ (R. Hartshorne, Residues and Duality, Springer Lecture Notes. no. 20 (1966
↑ .(B. Conrad, Grothendieck duality and base change, Springer Lecture Notes. no. 1750 (2000
↑ טעות מהסוג הזה (אם-כי בהקשר שונה) ארעה בספר Residues and duality^[2]. הטעות תוקנה רק כשלושה עשורים מאוחר יתר^[3].

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] שני האיזומורפיזמים האחרונים מוגדרים רק עבור המקרה החלק

[Har-2] (R. Hartshorne, Residues and Duality, Springer Lecture Notes. no. 20 (1966

[Con-3] .(B. Conrad, Grothendieck duality and base change, Springer Lecture Notes. no. 1750 (2000

[4] טעות מהסוג הזה (אם-כי בהקשר שונה) ארעה בספר Residues and duality^[2]. הטעות תוקנה רק כשלושה עשורים מאוחר יתר^[3].

אוריינטציה
אוריינטציה על:	מרחב לינארי • אגד • יריעה חלקה • יריעה טופולוגית • העתקה בין יריעות • גרף
אינווריאנטים המבוססים על אוריינטציה	אוריינטביליות • כיסוי האוריינטציות • קרקטר האוריינטציות • אגד האוריינטציות • אלומת האוריינטציות
יריעות לא־אוריינטביליות ידועות	טבעת מביוס • בקבוק קליין • מישור פרויקטיבי • מרחב פרויקטיבי (מממד זוגי)