אינוולוציה

הפעלת אינוולוציה פעמיים מחזירה את האיבר המקורי

במתמטיקה, אינוולוציה היא פונקציה ההופכית לעצמה. כלומר מתקיים ${\displaystyle f(f(x))=x}$ לכל ${\displaystyle x}$ .

באופן כללי יותר, השם "אינוולוציה" משמש לתיאור כל איבר מסדר 2 במבנה אלגברי עם איבר יחידה.

תכונות

מן ההגדרה נובע שאינוולוציות הן תמיד פעולות אונאריות חד-חד-ערכיות ועל, כלומר תמורות. תמורה היא אינוולוציה אם ורק אם בפירוק שלה למחזורים זרים מופיעים רק חילופים ונקודות שבת.

מספר האינוולוציות המוגדרות על קבוצה סופית של ${\displaystyle n}$ איברים נקרא מספר טלפון ה-${\displaystyle n}$-י (סדרה A000085 ב-OEIS). מספרים אלו מקיימים את נוסחת הנסיגה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}a_0=a_1=1\\a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}\end{align}}

הוכחה: נניח ללא הגבלת הכלליות שהקבוצה היא ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ . ישנן ${\displaystyle a_{n-1}}$ אינוולוציות שבהן ${\displaystyle n}$ נקודת שבת (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$). ישנן ${\displaystyle a_{n-2}}$ אינוולוציות שבהן ${\displaystyle n}$ עובר ל-${\displaystyle k\neq n}$ (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{1,\ldots,k-1,k+1,\ldots,n-1\}} ). יש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} ערכים אפשריים ל-${\displaystyle k\neq n}$ .

מספרי טלפון הראשונים הם: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496.

דוגמאות

• פונקציית הזהות היא אינוולוציה באופן טריוויאלי.
• הפונקציות הממשיות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -x,x^{-1}} . אלו דוגמאות פרטיות לפעולת לקיחת הופכי בחבורה, שהיא תמיד אינוולוציה.
• באופן כללי פונקציה ממשית היא אינוולוציה אם ורק אם הגרף שלה סימטרי ביחס לישר ${\displaystyle x=y}$ .
• פעולת ההצמדה של מספר מרוכב ופעולת השחלוף ופעולת הצמדה של מטריצה. באופן כללי, כל אינוולוציה במובן של תורת החוגים היא אינוולוציה במובן הכללי.
• מבין האיזומטריות של המישור האינוולוציות הן: פונקציית הזהות, כל שיקוף וכל סיבוב של 180 מעלות.
• פעולת השלילה בלוגיקה מתמטית היא אינוולוציה. באופן דומה, כך גם פעולת המשלים בתורת הקבוצות.
• הצפנה באמצעות מכונת אניגמה היא אינוולוציה – תהליך הפענוח של טקסט מתבצע על ידי הפעלה חוזרת של המכונה על הטקסט המוצפן.