מטריצה צמודה

באלגברה לינארית, מטריצה צמודה למטריצה מרוכבת A היא המטריצה המתקבלת משחלוף השורות והעמודות והצמדה של רכיבי המטריצה. דהיינו, בשורה ה-i ובעמודה ה-j של המטריצה הצמודה מופיע הצמוד המרוכב של הערך מן השורה ה-j והעמודה ה-i של המטריצה המקורית. בפרט, עבור מטריצות ממשיות, המטריצה הצמודה אינה אלא המטריצה המשוחלפת. כלומר, עבור מטריצה ${\displaystyle \mathbf {A} }$ המטריצה הצמודה ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ מקיימת:

${\displaystyle (\mathbf {A} ^{*})_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}}$

ההצמדה היא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג שני. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה הרמיטית.

תכונות

• ${\displaystyle (T^{*})^{*}=T}$
• אדיטיביות - ${\displaystyle (T+S)^{*}=T^{*}+S^{*}}$ ׁ
• ${\displaystyle (\alpha T)^{*}={\bar {\alpha }}T^{*}}$
• ${\displaystyle (T^{*})^{-1}=(T^{-1})^{*}}$ (ובפרט, כל אגף מוגדר אם ורק אם השני מוגדר)
• ${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*}}$

דוגמאות

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+i&2\\3i&4i\end{bmatrix}}^{\mathrm {*} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1-i&-3i\\2&-4i\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

ראו גם

• אופרטור צמוד - העתקה לינארית אנלוגית