אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית היא אנרגיה פוטנציאלית האצורה בשדה חשמלי, הנובעת מכוח לורנץ הפועל על מטען חשמלי בשדה אלקטרומגנטי. יחידת ה־SI של אנרגיה פוטנציאלית חשמלית היא ג'אול.

אנרגיה פוטנציאלית של חלקיק טעון

פוטנציאל ואנרגיה פוטנציאלית חשמלית של חלקיק טעון, כתלות במרחק ובסוג המטען

האנרגיה החשמלית נובעת מהימצאותו של מטען חשמלי בתוך שדה חשמלי. האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית ${\displaystyle q}$ של חלקיק המצוי בפוטנציאל חשמלי ${\displaystyle V(r)}$ שווה למכפלה ${\displaystyle qV(r)}$ . העבודה הנדרשת להעברת מטען זה דרך הפרש פוטנציאלים נתונה על ידי המשוואה ${\displaystyle W_{ab}=qV_{ab}=q(V_{a}-V_{b})}$ .

אנרגיה פוטנציאלית האצורה בקבוצת מטענים

האנרגיה הפוטנציאלית בין שני מטענים שווה לאנרגיה הפוטנציאלית של אחד המטענים בהשפעת השדה החשמלי שיוצר המטען השני. כלומר, אם מטען ${\displaystyle q_{1}}$ יוצר בנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2} בה מונח מטען ${\displaystyle q_{2}}$ פוטנציאל חשמלי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{r_2}} , אז האנרגיה הפוטנציאלית האצורה תהיה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=q_2V_{r_2}} . ניתן היה לחשב את האנרגיה גם על פי הפוטנציאל בנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1} , ולכן ברור שמתקיים ${\displaystyle U=q_{1}V_{r_{1}}=q_{2}V_{r_{2}}={\tfrac {1}{2}}(q_{1}V_{r_{1}}+q_{2}V_{r_{2}})}$ .

ביטוי זה ניתן להכללה עבור קבוצה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} מטענים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_i} הממוקמים בנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_i} , כאשר בכל אחת מנקודות אלו יש פוטנציאל של ${\displaystyle V_{r_{i}}}$ שנוצר בהשפעת כל המטענים פרט למטען הנמצא בנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_i} . הביטוי עבור המקרה הכללי הוא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\tfrac12\sum_{i=1}^Nq_iV_{r_i}}

הערה: ההכפלה בחצי נועדה לפצות על ספירה כפולה של ההשפעה ההדדית בין כל שני מטענים.

אנרגיה פוטנציאלית האצורה בפילוג מטען מרחבי

ניתן להכליל שוב את הביטוי מהסעיף הקודם כדי לקבל ביטוי עבור האנרגיה הפוטנציאלית של פילוג מטען שאינו מורכב בהכרח מאוסף מטענים נקודתיים אלא מרוח על פני המרחב:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\tfrac12\int\limits_\text{all space}\rho(r)V(r)dr^3}

${\displaystyle \rho (r)}$ צפיפות המטען של הפילוג בנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} .

${\displaystyle V(r)}$ הפוטנציאל החשמלי בנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} .

אנרגיה האצורה בשדה חשמלי

ניתן להשתמש במשוואה של האנרגיה הפוטנציאלית האצורה בפילוג מטען מרחבי ולהביאה למונחים של השדה החשמלי.

על פי חוק גאוס (בצורתו הדיפרנציאלית):

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {\rho (r)}{\epsilon _{r}\epsilon _{0}}}}$

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_r} המקדם הדיאלקטרי היחסי של התווך.

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_0} המקדם הדיאלקטרי של הריק.

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec E} וקטור השדה החשמלי.

לכן מתקיים

${\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)V(r)dr^{3}={\tfrac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\epsilon _{r}\epsilon _{0}(\nabla \cdot {\vec {E}})V(r)dr^{3}}$

על פי חוקי אנליזה וקטורית:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla\cdot(\vec EV)=(\nabla V)\vec E+V(\nabla\cdot\vec E)}

ולכן

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\frac{\epsilon_r\epsilon_0}{2}\int\limits_\text{all space}\nabla\cdot(\vec EV)dr^3-\frac{\epsilon_r\epsilon_0}{2}\int\limits_\text{all space}(\nabla V)\vec Edr^3}

תוך שימוש במשפט גאוס וקביעה שהפוטנציאל החשמלי באינסוף מתאפס:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\frac{\epsilon_r\epsilon_0}{2}\int V\vec E\cdot d\vec A-\frac{\epsilon_r\epsilon_0}{2}\int\limits_\text{all space}(-\vec E)\cdot\vec Edr^3=\int\limits_\text{all space}\tfrac12\epsilon_r\epsilon_0|\vec E|^2dr^3}

לכן, צפיפות האנרגיה, או האנרגיה ליחידת נפח של השדה החשמלי היא: ${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}\epsilon _{r}\epsilon _{0}|E|^{2}}$

ראו גם

• אנרגיה
• אנרגיה פוטנציאלית

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.