משפט גאוס

שדה וקטורי שכיוונו החוצה מפני משטח שצורתו כדורית

באנליזה וקטורית, משפט גאוס או משפט הדיוורגנט מקשר בין השטף של שדה וקטורי על פני משטח סגור לדיוורגנט של השדה בתוך המשטח. המשפט נקרא על שם קרל פרידריך גאוס שגילה אותו בשנת 1813 (והוכיח אותו למקרים פרטיים), אך רק בשנת 1831 מיכאיל אוסטרוגרדסקי הוכיח את המשפט במלואו, לכן לעיתים קוראים לו משפט גאוס–אוסטרוגרדסקי. למשפט שימושים חשובים בפיזיקה ובפרט באלקטרוסטטיקה.

המשפט הוא מקרה פרטי של משפט סטוקס.

ניסוח פורמלי

יהי ${\displaystyle V}$ תחום חלקי ל־${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ סגור ובעל שפה חלקה למקוטעין, ויהי ${\displaystyle F}$ שדה וקטורי גזיר ברציפות בסביבת ${\displaystyle V}$, אזי מתקיים

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \cdot {\vec {F}})dV=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc \,{\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}}$

כאשר ${\displaystyle S=\partial V}$ שפת התחום ${\displaystyle V}$, ו־${\displaystyle d{\vec {S}}}$ וקטור המייצג אלמנט שטח אינפיניטסימלי הניצב למשטח (לעיתים מסמנים ${\displaystyle {\hat {n}}\,dS}$, כאשר ${\displaystyle {\hat {n}}}$ הנורמל הפונה החוצה של משטח השפה ${\displaystyle \partial V}$), וכאשר ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)}$.

ראו גם

• חוק גאוס

קישורים חיצוניים

• זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב בבלוג רשימות בפיזיקה עיונית.