בניית קיילי-דיקסון

אלגברות מדרגה 2 עם אינוולוציה

בניית קיילי-דיקסון מתייחסת לאלגברות, לאו דווקא אסוציאטיביות, מעל שדה (כלשהו) F, המצוידות במבנה נוסף: אינוולוציה ${\displaystyle \ x\mapsto {\bar {x}}}$, המקיימת את התנאים ${\displaystyle \ x+{\bar {x}}\in F}$ ו- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ x{\bar {x}}={\bar {x}}x\in F} לכל x. באלגברה כזו כל איבר מקיים פולינום ממעלה שנייה מעל השדה, עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ x^{2}-(x+{\bar {x}})x+{\bar {x}}x=0} , ולכן זו אלגברה ריבועית (היינו אלגברה מדרגה 2). בנוסף לזה מניחים שהתבנית הריבועית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N(x) = x\bar{x}} אינה סינגולרית.

בגלל הזהות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \bar{x} = \bar{x}x = N(x)} , האברים ההפיכים ב-A הם אלו שהנורמה שלהם אינה מתאפסת. כאשר A אלטרנטיבית, היא אלגברת חילוק אם ורק אם תבנית הנורמה היא "תבנית אנאיזוטרופית" (כלומר, אין לה אפסים לא-טריוויאליים). ראו כאן לגבי אלגברת קיילי-דיקסון מממד 16.

הבניה

בבניית האלגברה החדשה נכנסים שני מרכיבים: אלגברה A עם אינוולוציה כאמור, וסקלר ‏‏עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \gamma \in F} סקלר. הרחבת קיילי-דיקסון הנוצרת מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A} ו- ${\displaystyle \,\gamma }$ היא האלגברה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C = CD(A,\gamma) = A \oplus z A} , שאבריה נכתבים כסכומים פורמליים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a+za'} עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a,a' \in A} , והכפל בה מוגדר לפי היחסים ${\displaystyle \ (za)b=z(ba),\ a(zb)=z({\bar {a}}b),\ (za)(zb)=\gamma b{\bar {a}}}$, היינו, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a+zb)(a'+zb')=aa'+\gamma b'\bar{b}+z(\bar{a}b'+a'b)} . בפרט, C מכילה את A כתת-אלגברה, יש לה יחידה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 = 1+z0} , והיוצר הנוסף z מקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z^2 = \gamma} .

האינוולוציה מורחבת ל-C לפי הנוסחה ${\displaystyle \ {\overline {a+zb}}={\overline {a}}-zb}$. האינוולוציה על C מקיימת את התכונות ${\displaystyle \ x+{\bar {x}}\in F}$ ו- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ x{\bar {x}}={\bar {x}}x\in F} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\in C} , ולכן גם הרחבת קיילי-דיקסון של A היא אלגברה מאותו סוג; כך אפשר להמשיך את הבניה פעמים נוספות. הנורמה מורחבת לפי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N(a+zb) = N(a)-\gamma N(b)} , והיא איזומורפית למכפלה הטנזורית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_A \otimes \langle\langle\gamma\rangle\rangle} , כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_A} היא הנורמה של A, ו- ${\displaystyle \ \langle \langle \gamma \rangle \rangle =\langle 1,-\gamma \rangle }$ היא תבנית פיסטר מסדר ראשון. בפרט, אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N_A} היא תבנית פיסטר, גם הנורמה החדשה היא כזו.

תכונות של הרחבת קיילי-דיקסון

האלגברה C היא קומוטטיבית אם ורק אם A=F; אסוציאטיבית אם ורק אם A קומוטטיבית; אלטרנטיבית אם ורק אם A אסוציאטיבית; ותמיד מקיימת את הזהות הגמישה. יש לה אותם איברים סימטריים כמו ל-A, והמרכז שלה מורכב מן האיברים הסימטריים במרכז של A (אלא אם A=F).