אלגברת קיילי

במתמטיקה, אלגברת קיילי היא אלגברה אלטרנטיבית פשוטה מממד 8. אלגבראות קיילי מתקבלות על ידי בניית קיילי-דיקסון מאלגברת קווטרניונים, והן קשורות למבנים מרכזיים באלגברה לא אסוציאטיבית, ובפרט לאלגבראות לי וחבורות לינאריות מטיפוס G2. הדוגמה החשובה ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים, שהיא אלגברת החילוק היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים. כל חוג אלטרנטיבי פשוט שאינו נילי ואינו אסוציאטיבי הוא אלגברת קיילי ^[1].

כפי שאלגברת קווטרניונים מוגדרת על-פי שני קבועים מעל שדה הבסיס, אלגברת קיילי מוגדרת על-פי שלושה קבועים: האלגברה ${\displaystyle \ (Q,\gamma )=(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ היא זו המתקבלת בבניית קיילי-דיקסון מאלגברת הקווטרניונים ${\displaystyle \ Q=(\alpha ,\beta )=F[x,y|x^{2}=\alpha ,y^{2}=\beta ,yx=-xy]}$ (ההצגה - בהנחה שהמאפיין שונה מ-2) על ידי סיפוח איבר z המקיים ${\displaystyle \ z^{2}=\gamma }$.

מעל כל שדה, יש אלגברת קיילי מפוצלת אחת, וכל שאר אלגבראות קיילי הן אלגבראות עם חילוק. אם יש באלגברת קיילי אידמפוטנט, אז היא מפוצלת, ושווה ל- ${\displaystyle \ C=Q[z]}$ כאשר Q אלגברת קווטרניונים כלשהי ו- ${\displaystyle \ z^{2}=1}$. במקרה זה, ${\displaystyle \ e={\frac {1}{2}}(z+1)}$ אידמפוטנט, וביחס אליו המרכיבים בפירוק פירס הם ${\displaystyle \ C_{00}=F(z-1),C_{11}=F(z+1),C_{01}=(z-1)Q_{0},C_{10}=(z+1)Q_{0}}$, כאשר ${\displaystyle \ Q_{0}}$ הוא מרחב האברים בעלי עקבה 0 ב-Q.

נורמה

תבנית הנורמה של אלגברת קיילי קובעת את האלגברה - לפי משפט של נתן ג'ייקובסון, שתי אלגבראות קיילי ממאפיין שונה מ-2 ${\displaystyle C,C'}$ עם תבניות נורמה ${\displaystyle n,n'}$ הן איזומורפיות אם ורק אם תבניות הנורמה שלהן שקולות (כלומר קיים איזומורפיזם ${\displaystyle f:C\to C'}$ כך ש-${\displaystyle n'(f(x))=n(x)}$.

בפרט, ניתן להסיק כי כל שתי אלגבראות קיילי (מעל שדה ממאפיין לא 2) מפוצלות הן איזומורפיות.

אלגברת הנגזרות

מעל שדות ממאפיין שונה מ-2 ו-3, אלגברת הנגזרות של אלגברת קיילי היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס G2. במאפיין שאינו 2 או 3, כל נגזרת של האלגברה היא סכום של פעולות מהצורה ${\displaystyle \ R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_{x},R_{y}]}$, ובפרט היא נגזרת פנימית.

הערות שוליים