הצפנת בלום-גולדווסר

הצפנה

להצפנת המסר ${\displaystyle \ m}$ המצפין משיג לידיו עותק של המפתח הפומבי ופועל כדלהלן:

1. מחלק את המסר ל-${\displaystyle \ t}$ לבלוקים, כל אחד בגודל ${\displaystyle \ h}$ סיביות, כאשר ${\displaystyle \ h={\mbox{lg lg }}n}$ (הלוגריתם בבסיס 2 של מספר סיביות המודולוס בקירוב).
2. בוחר גרעין אקראי סודי ${\displaystyle \ x_{0}}$, שהוא שארית ריבועית מודולו ${\displaystyle \ n}$ (אפשר להשיג זאת על ידי בחירת שלם אקראי ${\displaystyle \ r\in \mathbb {Z} _{n}^{*}}$ וחישוב ${\displaystyle \ x_{0}=r^{2}{\mbox{ mod }}n}$).
3. ההצפנה מבוצעת באופן רקורסיבי ב-${\displaystyle \ t}$ סבבים כאשר בכל סבב: א. הוא מחשב את ${\displaystyle \ x_{i}=x_{i-1}^{2}{\mbox{ mod }}n}$, ב. מצפין את בלוק המסר ${\displaystyle \ m_{i}}$ כדלהלן: ${\displaystyle \ c_{i}=p_{i}\oplus m_{i}}$, כאשר ערכו של ${\displaystyle \ p_{i}}$ הוא ${\displaystyle \ h}$ הסיביות הנמוכות של ${\displaystyle \ x_{i}}$.
4. מחשב את ${\displaystyle \ x_{t+1}=x_{t}^{2}{\mbox{ mod }}n}$.
5. הטקסט המוצפן הוא ${\displaystyle \ (c_{1},c_{2},...,c_{t},x_{t+1})}$.

פענוח

1. המקבל משתמש במפתח הפרטי שבידיו כדי לחשב את ${\displaystyle \ d_{1}=((p+1)/4)^{t+1}{\mbox{ mod }}(p-1)}$
2. ואת ${\displaystyle \ d_{2}=((q+1)/4)^{t+1}{\mbox{ mod }}(q-1)}$
3. ואז מחשב את ${\displaystyle \ u=x_{t+1}^{d_{1}}{\mbox{ mod }}p}$
4. ואת ${\displaystyle \ v=x_{t+1}^{d_{2}}{\mbox{ mod }}q}$
5. ואז מחלץ את הגרעין ההתחלתי ${\displaystyle \ x_{0}=vap+ubq{\mbox{ mod }}n}$.
6. הוא מפענח את המסר באותה הדרך בה הוצפן, עבור כל בלוק מוצפן ${\displaystyle \ c_{i}}$ מחשב את ${\displaystyle \ x_{i}=x_{t-1}^{2}{\mbox{ mod }}n}$ ואז משתמש ב-${\displaystyle \ h}$ הסיביות הנמוכות כדי לחבר ב-XOR עם בלוק הטקסט המוצפן: ${\displaystyle \ m_{i}=p_{i}\oplus c_{i}}$ כדי לקבל את ${\displaystyle \ m_{i}}$.

הוכחה לנכונות האלגוריתם

ראשית ממשפט השאריות הסיני נובע, היות ש-${\displaystyle \ x_{t}}$ הוא שארית ריבועית מודולו ${\displaystyle \ n}$, הוא שארית ריבועית מודולו הגורמים הראשוניים של ${\displaystyle \ n}$. ולפי תכונות סימן לז'נדר ${\displaystyle \ x_{t}^{(p-1)/2}\equiv 1\ ({\mbox{mod }}p)}$.

שנית, ניתן לראות ש-

${\displaystyle \ x_{t}^{(p+1)/4}\equiv (x_{t}^{2})^{(p+1)/4}\equiv x_{t}^{(p+1)/2}\equiv x_{t}^{(p-1)/2}x_{t}\equiv x_{t}{\mbox{ mod }}p}$

באופן דומה ${\displaystyle \ x_{t}^{(p+1)/4}\equiv x_{t-1}\ ({\mbox{mod }}p)}$ וכן ${\displaystyle \ x_{t+1}^{((p+1)/4)^{2}}\equiv x_{t-1}\ ({\mbox{mod }}p)}$ וכן הלאה.

מזה נובע ש:

${\displaystyle \ u\equiv x_{t+1}^{d_{1}}\equiv x_{t+1}^{((p+1)/4)^{t+1}}\equiv x_{0}\ ({\mbox{mod }}p)}$

וגם ${\displaystyle \ v\equiv x_{t+1}^{d_{2}}\equiv x_{0}\ ({\mbox{mod }}q)}$

ולבסוף כיוון ש-${\displaystyle \ ap+bq=1}$ לכן ${\displaystyle \ vap+ubq\equiv x_{0}\ ({\mbox{mod }}p)}$ כנ"ל לגבי ${\displaystyle \ q}$. לכן אם מחשבים את ${\displaystyle \ vap+ubq{\mbox{ mod }}n}$ מתקבל הגרעין ההתחלתי ${\displaystyle \ x_{0}}$. אם הגרעין ההתחלתי ידוע הפענוח טריוויאלי, כיון שכל מה שנדרש הוא פעולת XOR חוזרת על הטקסט המוצפן בדיוק כפי שנעשה עם המקור.

דוגמה להמחשה

לצורך הכנת מפתחות המקבל בוחר ראשוניים מתאימים נניח עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p=643} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q=859} ומחשב את ${\displaystyle \ n=pq=552337}$ ואז מחשב את משוואת אוקלידס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 171\cdot 643+-128\cdot 859=1} כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a=171,b=-128} . המפתח הפומבי הוא אם כן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 552337} והמפתח הפרטי הוא ${\displaystyle \ (643,859,171,-128)}$.

כעת אם השולח מעוניין להצפין את המסר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ m={\mbox{9C5B82}}} (בייצוג הקסדצימלי, בסה"כ 24 סיביות). הוא מחשב תחילה את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left\lfloor\log_2(552337)\right\rfloor=19} ואז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h=\left\lfloor\log_2(19)\right\rfloor=4} ואז מחלק את סיביות המסר לשישה בלוקים בני ארבע סיביות כל אחד ומתקבל:

${\displaystyle \ m_{1}=1001,m_{2}=1100,m_{3}=0101,m_{4}=1011,m_{5}=1000,m_{6}=0010}$

כעת בוחר גרעין התחלתי אקראי, נניח עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x=201036} (שהוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 21403^2\mbox{ mod }552337} ). הצפנת המסר ${\displaystyle \ m}$ מוצגת בטבלה הבאה, כאשר ${\displaystyle \ p_{i}}$ מייצג את ארבע הסיביות הנמוכות של ${\displaystyle \ x_{i}}$, בכל שלב לאחר העלאת ${\displaystyle \ x_{i}}$ בריבוע מחשבים את ${\displaystyle \ c_{i}=p_{i}\oplus m_{i}}$:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i}	${\displaystyle \ x_{i}=x_{i-1}^{2}{\mbox{ mod }}n}$	${\displaystyle \ m_{i}}$ בסיביות	${\displaystyle \ p_{i}}$ בסיביות	${\displaystyle \ c_{i}}$ בסיביות
1	${\displaystyle \ 422669}$	${\displaystyle \ 1001=9}$	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1101=\mbox{D}}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0100=4}
2	${\displaystyle \ 99607}$	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1100=\mbox{C}}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0111=7}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1011=\mbox{B}}
3	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 477255}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0101=5}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0111=7}	${\displaystyle \ 0010=2}$
4	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 155302}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1011=\mbox{B}}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0110=6}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1101=\mbox{D}}
5	${\displaystyle \ 363762}$	${\displaystyle \ 1000=8}$	${\displaystyle \ 0010=2}$	${\displaystyle \ 1010={\mbox{A}}}$
6	${\displaystyle \ 522228}$	${\displaystyle \ 0010=2}$	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0100=4}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0110=6}

לסיום מחשב גם את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_7=166864} ואת הטקסט המוצפן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (c=\mbox{4B2DA6},x_7=166864)} הוא שולח למקבל.

כדי לפענח את הטקסט המוצפן המקבל מחשב תחילה את הערכים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ d_{1}=(644/4)^{7}{\mbox{ mod }}642=479} ואת

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ d_2=(860/4)^7\mbox{ mod }858=305} ואז

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ v=166864^{305}{\mbox{ mod }}859=30} וכן

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u=166864^{479}\mbox{ mod }643=420}

ואז משחזר את הגרעין ההתחלתי כך: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_0=30\cdot 171\cdot 643+420\cdot-128\cdot859\mbox{ mod }552337(=-351301)=201036} . בעזרת הגרעין ההתחלתי הוא משחזר את הרצף הפסאודו אקראי, בדיוק כפי שעשה זאת המצפין ומכאן שחזור המסר קל כיוון ש- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m_i=c_i\oplus p_i} לכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m=\mbox{4B2DA6}\oplus \mbox{D77624}=\mbox{9C5B82}} .