רדיקל (תורת החוגים)

בתורת החוגים, הרדיקל של חוג הוא אידאל מיוחד, המכיל בתוכו את כל האידאלים ה"בעייתיים" של החוג. הרדיקל שווה לאפס בדיוק כאשר החוג נקי מן הבעיות שהרדיקל אמור למדוד. לרדיקלים השונים יש תפקיד מרכזי בארגז הכלים של חוקר החוגים והמודולים.

הרדיקל של חוג מוגדר תמיד ביחס למשפחה מסוימת של חוגים או אידאלים: אם $\ {\mathcal {P}}$ היא משפחה של חוגים הכוללת עם כל חוג גם את חוגי המנה שלו, אידאל P בעל התכונה $\ {\mathcal {P}}$ נקרא $\ {\mathcal {P}}$ -רדיקל של החוג R, אם הוא מכיל כל אידאל בעל התכונה הזו, ובחוג המנה $\ R/P$ אין אידאלים לא-טריוויאליים בעלי התכונה. הרדיקל ביחס למשפחה נתונה אינו בהכרח קיים בכל חוג, ולכן אחד הצעדים הראשונים בבניה מועילה של רדיקל צריכה להיות אפיון החוגים שבהם הוא קיים. בהכללה אפשר לומר שהרדיקל שימושי ומועיל יותר ככל שהוא מוגדר עבור חוגים כלליים יותר.

את הרדיקל אפשר להגדיר כאידאל הגדול ביותר השייך למשפחה מסוימת, כחיתוך כל האידאלים מסוג מסוים, וכדומה. פעמים רבות, כמו ברדיקל של ג'ייקובסון מתלכדות כמה הגדרות לכלי רב עוצמה יחיד. במקרה היסודי של אלגברות אסוציאטיביות מממד סופי, כל הרדיקלים החשובים שווים זה לזה.

רדיקלים של חוגים אסוציאטיביים

כל רדיקל שימושי מקיים את שתי התכונות הבאות: אם I אידאל של החוג R המוכל ברדיקל $\ \operatorname {rad} (R)$ אז $\ \operatorname {rad} (R/I)=\operatorname {rad} (R)/I$ ; ואם $\ \operatorname {rad} (R/I)=0$ , אז $\ \operatorname {rad} (R)\subseteq I$ .

לצד הרדיקל של ג'ייקובסון, יש כמה רדיקלים חשובים אחרים הקיימים בכל חוג (אסוציאטיבי), מן הקטן לגדול:

הרדיקל הנילי התחתון $\ \operatorname {Nil} _{*}(R)$ (נקרא גם הרדיקל הראשוני או רדיקל Baer) הוא חיתוך כל האידאלים הראשוניים של החוג. זהו האידאל הראשוני למחצה הקטן ביותר של החוג. אפשר לבנות אותו באינדוקציה טרנספיניטית, כסכום כל האידאלים הנילפוטנטיים בחוג המנה ביחס לצעד הקודם (הסכום $\ N_{1}(R)$ של כל האידאלים הנילפוטנטיים בחוג R שווה לסכום האידאלים השמאליים הנילפוטנטים, אבל בדרך-כלל אינו נילפוטנטי בעצמו; בחוגי PI $\ N_{3}=N_{2}$ ). הרדיקל הזה מתאפס אם ורק אם החוג ראשוני למחצה, כלומר, אין בו אידאלים נילפוטנטיים. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל הנילי התחתון הוא אוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, היינו הרדיקל של אידאל האפס. במקרה הכללי, אברי הרדיקל הם האברים הנילפוטנטים בחזקה (a הוא נילפוטנטי בחזקה אם כל סדרה $\ a_{i+1}\in a_{i}Ra_{i}$ המתחילה ב- $\ a_{1}=a$ מוכרחה להתאפס). הרדיקל הנילי התחתון של תת-חוג $\ S\subseteq R$ מקיים $\ S\cap \operatorname {Nil} _{*}(R)\subseteq \operatorname {Nil} _{*}(S)$ .

רדיקל לויצקי (על-שם יעקב לויצקי) הוא סכום האידאלים הנילפוטנטים-מקומית, השווה גם לסכום האידאלים השמאליים הנילפוטנטיים-מקומית (והוא האידאל הנילפוטנטי-מקומית הגדול ביותר; אידאל הוא נילפוטנטי מקומית אם לכל קבוצה סופית של אברים בו, יש n כזה שמכפלת כל n אברים בקבוצה היא אפס).

הרדיקל הנילי העליון של קתה, $\ \operatorname {N} (R)$ , $\ \operatorname {Nil} (R)$ או $\ \operatorname {Nil} ^{*}(R)$ , הוא סכום האידאלים הניליים (והוא האידאל הנילי הגדול ביותר). הרדיקל שווה לחיתוך כל האידאלים הראשוניים שבחוג המנה ביחס אליהם אין אידאלים ניליים. אם $\ \operatorname {Nil} (R)=0$ , אז $\ J(R[\lambda ])=0$ (עמיצור).

$\ {\overline {N}}(R)$ הוא סכום האידאלים השמאליים הניליים (השווה לסכום האידאלים הימניים הניליים). השערת קתה שואלת האם רדיקל זה שווה לרדיקל הנילי העליון (לא ידועות דוגמאות נגדיות).

רדיקל ג'ייקובסון $\ J(R)$ שווה לחיתוך האידאלים השמאליים המקסימליים, והוא האידאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר (אידאל הוא קוואזי-הפיך אם לכל איבר x שלו, $\ 1-x$ הפיך).

רדיקל בראון-מקוי $\ \operatorname {BM} (R)$ הוא חיתוך כל האידאלים M כך ש-R/M פשוט עם יחידה (אם ב-R יש יחידה, זה חיתוך האידאלים המקסימליים).

בין הרדיקלים האלו מתקיים תמיד היחס הבא: $\ \operatorname {Nil} _{*}(R)\subseteq L(R)\subseteq \operatorname {Nil} (R)\subseteq {\overline {N}}(R)\subseteq J(R)\subseteq \operatorname {BM} (R)$ . בחוגים ארטיניים (ובפרט באלגברות מממד סופי), כולם מתלכדים. בחוגים נותריים ובחוגים עם זהויות, $\ \operatorname {Nil} _{*}(R)={\overline {N}}(R)$ ^[1]. בחוג עם זהויות שהוא אפיני מעל חוג נותרי קומוטטיבי, $\ \operatorname {Nil} _{*}(R)=\operatorname {Jac} (R)$ (משפט Razmyslov-Kemer-Braun). באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית מעל שדה, $\ L(R)=\operatorname {Jac} (R)$ אבל ייתכן ש- $\ \operatorname {Nil} _{*}(R)\subset L(R)$ ^[2].

הרדיקלים לעיל מתאפסים, לפי הסדר, אם: אין אידאלים נילפוטנטיים; אין אידאלים ניליים מקומית; אין אידאלים ניליים; אין אידאל שמאלי נילי; אין אידאל קוואזי הפיך (החוג פרימיטיבי למחצה); החוג הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פשוטים עם יחידה.

תאוריה כללית של רדיקלים

בשנות החמשים של המאה ה-20 פיתחו שמשון עמיצור ואלכסנדר קורוש תאוריה כללית של רדיקלים, היוצקת תשתית פורמלית לגישה הרואה ברדיקל של חוג אידאל "בעייתי" שיש לסלק. לפי תאוריה זו, מחלקה רדיקלית היא מחלקה $\ \gamma$ של חוגים בלי יחידה, הסגורה תחת המעבר לתמונות הומומורפיות, תחת איחוד של שרשראות, ותחת הרחבות (אם $\ I,R/I\in \gamma$ אז $\ R\in \gamma$ ). בהינתן מחלקה רדיקלית $\gamma$ , אפשר להגדיר את ה- $\gamma$ -רדיקל $\ \gamma (R)$ של חוג R להיות סכום כל האידאלים של R השייכים למחלקה. המחלקה מאפיינת שתי תכונות מנוגדות: חוג R הוא $\gamma$ -רדיקלי אם $\ R=\gamma (R)$ , ו- $\gamma$ -פשוט-למחצה אם $\ \gamma (R)=0$ (את קבוצת החוגים הפשוטים למחצה ביחס ל- $\gamma$ מסמנים ב- $\ {\mathcal {S}}\gamma$ ; מחלקה כזו נקראת מחלקה פשוטה למחצה). את הרדיקל $\ \gamma (R)$ אפשר גם לאפיין כחיתוך כל האידאלים I שעבורם $\ \gamma (R/I)=0$ , והמנה $\ R/\gamma (R)$ היא תמיד $\gamma$ -פשוטה-למחצה. לכל מחלקה רדיקלית, אם $\ I$ אידאל של חוג R, אז גם $\ \gamma (I)$ אידאל של R (זהו משפט Anderson-Divinsky-Sulinski).

מחלקה של חוגים הכוללת מנה שונה מאפס של כל חוג (בלי יחידה), נקראת מחלקה רגולרית; בפרט, כל מחלקה פשוטה למחצה היא רגולרית. בכיוון ההפוך, אם $\sigma$ מחלקה רגולרית, אז המחלקה $\ {\mathcal {U}}\sigma$ של חוגים שאין להם אף תמונה הומומורפית ב- $\sigma$ היא רדיקלית (זוהי המחלקה הרדיקלית הגדולה ביותר שאין לה אף חוג שונה מאפס משותף עם $\sigma$ ). לכל מחלקה רדיקלית $\gamma$ מתקיים $\ \gamma ={{\mathcal {U}}S}\gamma$ , כך שהמחלקות הרדיקליות מתאימות למחלקות הפשוטות-למחצה. את המחלקות הפשוטות-למחצה אפשר לאפיין ישירות, באופן הבא: מחלקה של חוגים היא פשוטה למחצה אם ורק אם היא תורשתית (אידאל של חוג במחלקה שייך גם הוא למחלקה), קו-אינדוקטיבית (אם המנה של R ביחס לכל אחד מהאידאלים בשרשרת יורדת שחיתוכה 0 היא במחלקה, אז גם R במחלקה), וסגורה להרחבות.

רדיקל של מודול

הרדיקל $\ \operatorname {rad} (M)$ של מודול M שווה לחיתוך תת-המודולים המקסימליים של M. הרדיקל מתאפס אם ורק אם המודול הוא מודול פשוט למחצה (כלומר סכום ישר סופי של מודולים פשוטים). הרדיקל של המנה $\ M/\operatorname {rad} (M)$ הוא תמיד אפס. הרדיקל של סכום ישר שווה לסכום ישר של הרדיקלים המתאימים. כל הומומורפיזם של מודולים $\ f:M\rightarrow N$ משרה הומומורפיזם $\ f:M/\operatorname {rad} (M)\rightarrow N/\operatorname {rad} (N)\rightarrow N$ , שהוא על אם ורק אם ההומומורפיזם המקורי הוא על (זו הלמה של נקיימה למודולים).

מושג הרדיקל של מודול מכליל את רדיקל ג'ייקובסון: אם R הוא חוג, הרדיקל שלו כמודול מעל עצמו שווה ל- $\ \operatorname {Jac} (R)$ . תורת המודולים הפשוטים למחצה היא למעשה תורה של מודולים מעל חוגים פרימיטיביים למחצה, משום שכל מודול פשוט למחצה מעל חוג R מהווה מודול גם מעל המנה $\ R/\operatorname {Jac} (R)$ .

רדיקלים באלגברות לא אסוציאטיביות

הרדיקל הפתיר

אידאל A של חוג הוא אידאל פתיר אם קיים $\,m$ כך ש- $\ A^{(m)}=0$ , כשמגדירים $\ A^{(0)}=A$ ו- $\ A^{(m+1)}=A^{(m)}\cdot A^{(m)}$ . מכיוון שהסכום של שני אידאלים פתירים הוא אידאל פתיר, לכל אלגברה מממד סופי (גם אם אינה אסוציאטיבית) יש אידאל פתיר מקסימלי יחיד, הנקרא הרדיקל הפתיר של האלגברה. רדיקל זה מכיל את כל האידאלים הפתירים, ובחוג המנה ביחס אליו אין אידאלים פתירים. לרדיקל הפתיר תפקיד מרכזי בתורת המבנה של אלגברות לי מממד סופי וממאפיין אפס (או, באופן כללי יותר, בתורת המבנה של אלגברות מלצב מאותו סוג), משום שהמנה ביחס אליו היא, כפי שקורה במחלקות רבות אחרות (אבל לא תמיד), אלגברה פשוטה למחצה.

גם בחבורות אפשר להגדיר רדיקלים שונים; מביניהם, הרדיקל הפתיר, שהוא תת-החבורה הנורמלית הפתירה הגדולה ביותר, הוא כנראה המשמעותי מכולם. סוזוקי הראה שאת הרדיקל הפתיר של חבורה סופית אפשר לזהות מתוך סריג תת-החבורות של החבורה.

הרדיקל של פשטות-למחצה

הרדיקל של פשטות-למחצה מוגדר כאידאל הקטן ביותר $\ {\tilde {N}}$ שהמנה ביחס אליו מתפרקת לסכום ישר של חוגים פשוטים. הרדיקל הזה קיים בכל אלגברה (לא אסוציאטיבית) מממד סופי, והוא תמיד מכיל את הרדיקל הפתיר, גם אם אינו פתיר בעצמו. בכל המחלקות החשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות (אלגברות אלטרנטיביות, אלגברות ז'ורדן ואלגברות מלצב, ובכלל זה אלגברות אסוציאטיביות ואלגברות לי) הרדיקל של הפשטות-למחצה שווה לרדיקל הפתיר.

הרדיקל הנילפוטנטי

הרדיקל הנילפוטנטי הוא הרדיקל שהגדיר ג'וזף ודרברן כשייסד את תורת המבנה של החוגים (ראו המשפט הראשי של ודרברן). עם זאת חשיבותו משנית, משום שהוא אינו קיים בחוגים אסוציאטיביים כלליים, או אפילו באלגברות לא אסוציאטיביות מסוימות מממד סופי.

אידאל A של חוג הוא אידאל נילפוטנטי אם קיים $\,n$ כך ש- $\ A^{n}=0$ , כשמגדירים $\ A^{1}=A$ ו- $\ A^{(n+1)}=A^{1}\cdot A^{n}+A^{2}\cdot A^{n-1}+\cdots +A^{n}\cdot A^{1}$ (במקרה האסוציאטיבי די כמובן בהגדרה $\ A^{n+1}=A\cdot A^{n}$ ). בחוג אסוציאטיבי, הסכום של שני אידאלים נילפוטנטיים הוא נילפוטנטי, ולכן לאלגברה אסוציאטיבית מממד סופי יש אידאל נילפוטנטי מקסימלי יחיד, שהוא הרדיקל הנילפוטנטי; כך גם באלגברות ז'ורדן ובאלגברות אלטרנטיביות מממד סופי. הרדיקל הנילפוטנטי של אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות מתלכד עם הרדיקל הפתיר.

באלגברות שאינן אסוציאטיביות, ייתכן שהאידאל I של A ואלגברת המנה $\ A/I$ יהיו שניהם נילפוטנטים, אף על פי ש-A עצמה אינה נילפוטנטית; לכן הרדיקל הנילפוטנטי אינו קיים באלגברה לא אסוציאטיבית כללית. אכן, באלגברה לא אסוציאטיבית (ואפילו אם היא קומוטטיבית) יכולים להיות כמה אידאלים נילפוטנטים מקסימליים שונים זה מזה.

הרדיקל הנילי

הרדיקל הנילי, שהוא האידאל הגדול ביותר שכל אבריו נילפוטנטים, קיים בכל אלגברה עם חזקות אסוציאטיביות. הרדיקל הזה מכיל את הרדיקל הפתיר (אבל אינו בהכרח שווה לו: באלגברות לי, הרדיקל הנילי שווה לאלגברה כולה). באלגברות אלטרנטיביות ובאלגברות ז'ורדן מממד סופי, הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי, ובמקרים אלה הוא שווה לרדיקל הנילפוטנטי.

בעיית אלברט (שהציע אדריאן אלברט) שואלת האם הרדיקל הנילי שווה לרדיקל הפתיר בכל אלגברה קומוטטיבית עם חזקות אסוציאטיביות.

מקורות

Encyclopaedia of Mathematical Scieneces, Vol 57, Algebra VI, A.I. Kostrikin and I.R. Shafarevich (eds.), Part II: non-associative structures, E.N.Kuzmin and I.P. Shestakov.

ראו גם

רדיקל של אידאל

הערות שוליים

↑ עבור חוגים נותריים: משפט Levitzki (ראה Herstein 1961); בחוגי זהויות, ראה Noncommutative Noetherian Rings, McConnel-Robson, Cor. 13.2.6
↑ Smoktunovitcz, On some results related to Kothe's conjecture, Serdica, 2001; p. 165

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] עבור חוגים נותריים: משפט Levitzki (ראה Herstein 1961); בחוגי זהויות, ראה Noncommutative Noetherian Rings, McConnel-Robson, Cor. 13.2.6

[2] Smoktunovitcz, On some results related to Kothe's conjecture, Serdica, 2001; p. 165