מטריצת סיבוב

מטריצת סיבוב היא מטריצה שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

תכונות

תהי ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ מטריצת סיבוב מסדר ${\displaystyle n\times n}$ . מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

• המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\mathcal {M}}\mathbf {A} \cdot {\mathcal {M}}\mathbf {B} }$

• המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\,{\mathcal {M}}^{-1}={\mathcal {M}}\,{\mathcal {M}}^{\top }={\mathcal {I}}}$

כאשר ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ מטריצת היחידה.

• ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטי־סימטרית ${\displaystyle \mathbf {A} }$ :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\exp(\mathbf {A} )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{n}}{n!}}}$

כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו־ממד

בדו־ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית ${\displaystyle \theta }$ , כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית ${\displaystyle \theta }$ היא:

${\displaystyle M(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&\theta \\-\theta &0\end{bmatrix}}\right)}$

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה ${\displaystyle 2\times 2}$ אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

מטריצות סיבוב נפוצות:

${\displaystyle {\begin{aligned}R(90^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\\R(180^{\circ })&={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\\R(270^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

תלת-ממד

• מטריצת הסיבוב סביב ציר X בזווית ${\displaystyle \theta _{x}}$ היא:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{x}(\theta _{x})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta _{x})&-\sin(\theta _{x})\\0&\sin(\theta _{x})&\cos(\theta _{x})\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-\theta _{x}\\0&\theta _{x}&0\end{bmatrix}}\right)}$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר Y בזווית ${\displaystyle \theta _{y}}$ היא:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{y}(\theta _{y})={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{y})&0&\sin(\theta _{y})\\0&1&0\\-\sin(\theta _{y})&0&\cos(\theta _{y})\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&\theta _{y}\\0&0&0\\-\theta _{y}&0&0\end{bmatrix}}\right)}$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר Z בזווית ${\displaystyle \theta _{z}}$ היא:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{z}(\theta _{z})={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{z})&-\sin(\theta _{z})&0\\\sin(\theta _{z})&\cos(\theta _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-\theta _{z}&0\\\theta _{z}&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\right)}$

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

ראו גם

• מטריצה אורתוגונלית
• זוויות אוילר
• נוסחת הסיבוב של רודריגז
• מטריצות פאולי

קישורים חיצוניים

• מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)