מעגל חוסם

הקוטר והמרכז של המעגל החוסם

נסמן ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c} את צלעות המשולש, וב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} את הזווית שמול עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} . לפי משפט הסינוסים, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=2Rsin(\alpha )} , ולכן שטח המשולש נתון לפי השוויון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = \frac{1}{2}bc \sin(\alpha) = \frac{abc}{4R}} . מכאן שבכל משולש מתקיים היחס ${\displaystyle \ 4RS=abc}$. את רדיוס המעגל החוסם אפשר לחשב ישירות מאורכי הצלעות a, b ו- c, לפי הנוסחה ${\displaystyle \ R={\frac {abc}{4S}}}$, כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} הוא שטח המשולש (לפי נוסחת הרון), ו-${\displaystyle \ s={\frac {a+b+c}{2}}}$ חצי ההיקף. קוטרו של מעגל פיירבך הוא מחצית מזה של המעגל החוסם.

בקואורדינטות קרטזיות, המעגל החוסם של משולש שקודקודיו בנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A} = (A_x,A_y)} , עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{B} = (B_x,B_y)} ו- ${\displaystyle \mathbf {C} =(C_{x},C_{y})}$ הוא האוסף של נקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v=(v_x,v_y)} המקיימות את המשוואות ${\displaystyle |\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0}$, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\mathbf{A}-\mathbf{u}|^2 - r^2 = 0} ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\mathbf{B}-\mathbf{u}|^2 - r^2 = 0} ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\mathbf{C}-\mathbf{u}|^2 - r^2 = 0} , שמהן נובע גם ש- ${\displaystyle \mathbf {u} }$ הוא מרכז המעגל החוסם. כשהופכים את המשוואות למערכת המשוואות הלינארית, מתברר שהן שקולות לכך שלמטריצה הריבועית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{vmatrix} |\mathbf{v}|^2 & -2v_x & -2v_y & -1 \\ |\mathbf{A}|^2 & -2A_x & -2A_y & -1 \\ |\mathbf{B}|^2 & -2B_x & -2B_y & -1 \\ |\mathbf{C}|^2 & -2C_x & -2C_y & -1 \end{vmatrix}} תהיה דטרמיננטה אפס. מנוסחת קרמר מתקבל הפתרון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \quad S_x=\frac{1}{2}\det\begin{vmatrix} |\mathbf{A}|^2 & A_y & 1 \\ |\mathbf{B}|^2 & B_y & 1 \\ |\mathbf{C}|^2 & C_y & 1 \end{vmatrix},\quad S_y=\frac{1}{2}\det\begin{vmatrix} A_x & |\mathbf{A}|^2 & 1 \\ B_x & |\mathbf{B}|^2 & 1 \\ C_x & |\mathbf{C}|^2 & 1 \end{vmatrix},} , ${\displaystyle a=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad b=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{vmatrix}}}$, ואז מתקבל המרכז ${\displaystyle \ S/a}$ ורדיוס המעגל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{ab+|S|^2}/a} . חישוב דומה מוביל לנוסחאות הכדור החוסם של ארבעון.

בקואורדינטות בריצנטריות, המעגל החוסם הוא אוסף הנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x:y:z} המקיימות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 0} . מרכז המעגל בקואורדינטות אלה הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^2(-a^2 + b^2 + c^2) : b^2(a^2 - b^2 + c^2) : c^2(a^2 + b^2 - c^2)} .