פולינום

במתמטיקה, פולינום במשתנה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} הוא ביטוי מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_0,a_1,\dots,a_n} הם קבועים; למשל, ${\displaystyle \ 3x^{2}+7x-5}$. באותו אופן אפשר להגדיר כמובן פולינום בכל משתנה אחר (${\displaystyle \ y^{9}-y}$ הוא פולינום במשתנה ${\displaystyle y}$), וגם פולינומים בכמה משתנים, כמו ${\displaystyle \ x^{3}yz+xy^{3}z-2xy}$.

פולינום שבו המקדמים הם מספרים ממשיים נקרא פולינום ממשי. באופן כללי יותר, המקדמים עשויים להיות איברים בשדה (או חוג) כלשהו F, ואז מדובר ב"פולינום מעל F".

המחוברים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_kx^k} נקראים מונומים. במונום כזה, k היא החזקה או המעריך, והקבוע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_k} הוא המקדם. החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום p היא המעלה של הפולינום, ומסמנים אותה ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \deg p(x)} . המחובר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_0} נקרא המקדם החופשי ו- ${\displaystyle \ a_{n}}$ נקרא המקדם המוביל של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל-1, אז הפולינום נקרא פולינום מתוקן. לדוגמה, ${\displaystyle \ 3x^{2}+5x+12}$ הוא פולינום ממעלה שנייה, שהמקדם המוביל שלו הוא 3.

אם מקדמי הפולינום ${\displaystyle \ p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ שייכים לשדה ${\displaystyle \ F}$, אז הוא מגדיר פונקציה פולינומית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f:F\rightarrow F} באמצעות הצבה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p(b)=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_1b+a_0} . למשל, אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p(x) = x^2+4} אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p(3) = 3^2+4 = 13} .

פונקציה מהצורה ${\displaystyle f(x)={\frac {p_{1}(x)}{p_{2}(x)}}}$, כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_1(x), p_2(x)} הם פולינומים, נקראת פונקציה רציונלית.

פונקציה פולינומית אפשר לחשב במספר סופי של פעולות חיבור וכפל; משום כך יש לפולינומים (מעל הממשיים או המרוכבים) תפקיד מרכזי בתורת הקירובים.

שורש של פולינום

שורש (או אפס) של פולינום ${\displaystyle \ f(x)}$ הוא ערך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r} שעבורו מתקיים ${\displaystyle \ f(r)=0}$. מציאת השורשים של פולינום היא מהבעיות העתיקות ביותר במתמטיקה.

פולינום ממעלה שנייה, כלומר פולינום מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ax^2+bx+c} ידוע בשם פולינום ריבועי. שיטה לפתרון משוואה ריבועית הייתה ידועה ליוונים הקדמונים, ואף קודם לכן לבבלים. רק במאה ה-16 נמצאה שיטה לפתרון כללי של משוואה ממעלה שלישית ורביעית: בשנת 1545 פרסם ג'ירולמו קרדאנו ספר שבו ייחס את השיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לטרטליה, ואת השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית יחס לתלמידו (של קרדאנו), לודוביקו פרארי. בתחילת המאה ה-19 הוכיחו נילס הנריק אבל ואווריסט גלואה שאין נוסחה כללית לשורש של פולינום שמעלתו גדולה מ-4, באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) וחישוב רדיקלים (כלומר, הוצאת שורש מכל סדר).

לכל פולינום ממעלה אי זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי, כפי שניתן לראות מיידית ממשפט ערך הביניים. לפולינומים ממעלה זוגית, כגון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2+1} , אין שורש ממשי, אך תמיד יש שורש מרוכב. לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה ${\displaystyle \ n}$ יש בדיוק ${\displaystyle \ n}$ שורשים (לרבות חזרות) בשדה המספרים המרוכבים.

חוג הפולינומים

ערך מורחב – חוג פולינומים

קבוצת כל הפולינומים מעל שדה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}} או חוג עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R} נתון מהווה חוג, ומסומנת לרוב ב ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$ או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R[x]} בהתאמה. מעל שדה, החוג מהווה חוג אוקלידי. נדון בקצת מתכונותיהן:

פולינומים במספר משתנים

ניתן להכליל את מושג הפולינום לפולינמים במספר משתנים. פולינום ב 2 משתנים ${\displaystyle \ x,y}$, לדוגמה, הוא ביטוי מהצורה ${\displaystyle \sum _{m,n}a_{m,n}x^{n}\cdot y^{m}}$. בצורה דומה ניתן להגדיר פולינום ב-n משתנים.

קבוצת כל הפולינומים ב-n משתנים מעל חוג היא עדיין חוג, אך עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n >1} זהו אינו חוג ראשי. חוג הפולינומים באינסוף משתנים אינו חוג נותרי.

תת-קבוצה חשובה של פולינומים במספר משתנים הם הפולינומים הסימטריים. פולינום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_1, ... , x_n)} ב-n משתנים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1 , ... , x_n} נקרא סימטרי אם לכל תמורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma \in S_n} מתקיים

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \left( x_{\sigma(1)} , x_{\sigma(2)}, ... , x_{\sigma(n)} \right) = f \left( x_1 , ... , x_n \right)} .

כל פולינום סימטרי ניתן להצגה כפולינום ב-${\displaystyle s_{1},...,s_{n}}$ כאשר ${\displaystyle s_{1},...,s_{n}}$ הם הפולינומים הסימטריים האלמנטריים ב-n משתנים. לדוגמה, עבור n=3 הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_1 = x_1 + x_2 + x_3}
• ${\displaystyle s_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}$
• ${\displaystyle s_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}}$

ראו גם

• מונום
• חילוק פולינומים
• פולינום אופייני
• פולינום לז'נדר
• פולינום טיילור

קישורים חיצוניים

• פולינום, באתר MathWorld (באנגלית)
• כלי לחילוק פולינומים
• ד"ר ארז גרטי, ‏מציג גרפים - פולינומים, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 5 בנובמבר 2011