משפטי האיזומורפיזם

תיאור

בהינתן הומומורפיזם כלשהו, חבורת המנה המתקבלת מתחום ההומומורפיזם מודולו גרעין ההומומורפיזם איזומורפית לתמונת ההומומורפיזם. משפט זה מראה על הקשר ההדוק בין גרעין של הומומורפיזם ובין תמונתו, ולמעשה אומר שאם נתונה לנו חבורה, וידוע מה הגרעין של הומומורפיזם כלשהו ממנה, יש לנו את כל המידע על תמונת ההומומורפיזם. למעשה, פירוש הדבר הוא שתמונות של הומומורפיזמים בעלי גרעין זהה הן איזומורפיות.

ניסוח

משפט: תהיינה ${\displaystyle \ G,H}$ חבורות, ויהא ${\displaystyle \ \varphi :G\rightarrow H}$ הומומורפיזם. אז מתקיים ${\displaystyle \ G/{\mbox{Ker}}\left(\varphi \right)\cong {\mbox{Im}}\left(\varphi \right)}$.

הערה: חבורת המנה מוגדרת היטב כי גרעין של הומומורפיזם הוא תמיד תת חבורה נורמלית.

הוכחה

נבנה את האיזומורפיזם הדרוש. נסמן ${\displaystyle \ {\mbox{Ker}}\left(\varphi \right)=K}$ ונגדיר פונקציה ${\displaystyle \ \Psi :G/K\rightarrow {\mbox{Im}}\left(\varphi \right)}$ כך: ${\displaystyle \ \Psi \left(aK\right)=\varphi \left(a\right)}$.

כעת נראה כי הפונקציה היא איזומורפיזם.

• הפונקציה מוגדרת היטב (כלומר, אם ניקח נציגים שונים עבור אותה מחלקת שקילות, נקבל אותה תוצאה): נניח כי ${\displaystyle \ aK=bK}$ (נשים לב כי אלו מחלקות (קוסטים)). אז ${\displaystyle \ b\cdot a^{-1}\in K}$.

כעת, ${\displaystyle \ \Psi \left(aK\right)=\varphi \left(a\right)=\varphi \left(b\cdot a^{-1}\right)\cdot \varphi \left(a\right)=\varphi \left(b\cdot a^{-1}\cdot a\right)=\varphi \left(b\right)=\Psi \left(bK\right)}$ וקיבלנו שהפונקציה מוגדרת היטב.

• הפונקציה היא הומומורפיזם: ${\displaystyle \ \Psi \left(aK\cdot bK\right)=\Psi \left(abK\right)=\varphi \left(ab\right)=\varphi \left(a\right)\cdot \varphi \left(b\right)=\Psi (aK)\cdot \Psi (bK)}$.

• הפונקציה היא על: יהא ${\displaystyle \ h\in {\mbox{Im}}\left(\varphi \right)}$ כלשהו. על-פי הגדרת התמונה, קיים ${\displaystyle \ x\in G}$ כך ש${\displaystyle \ \varphi (x)=h}$. על כן, ${\displaystyle \ \Psi (xK)=\varphi (x)=h}$ והראינו שהפונקציה על.

• הפונקציה היא חד חד ערכית: נניח כי ${\displaystyle \ \Psi (aK)=\Psi (bK)}$, אז ${\displaystyle \ \varphi (a)=\varphi (b)}$, כלומר ${\displaystyle \ \varphi (a)\varphi (b)^{-1}=e}$, כלומר ${\displaystyle \ \varphi (ab^{-1})=e}$, כלומר ${\displaystyle \ ab^{-1}\in K}$, כלומר ${\displaystyle \ aK=bK}$.

הראינו שהפונקציה מוגדרת היטב, והיא הומומורפיזם חד חד ערכי ועל, כלומר היא איזומורפיזם. בכך הושלמה הוכחת המשפט.