משפט האינטגרל של קושי

באנליזה מרוכבת, משפט האינטגרל של קושי–גורסה (על שם אוגוסטן לואי קושי ואדוארד גורסה) הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר שלאורך מסלול סגור והומולוגי לאפס (כגון השפה של מרחב פשוט קשר), האינטגרל של כל פונקציה שהיא הולומורפית בתחום שהמסלול סוגר ורציפה על השפה, שווה לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.

למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השאריות ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות – כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור.

ניסוח פורמלי

יהי ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ תחום קושי כך שהשפה ${\displaystyle \partial D}$ היא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות, ותהי ${\displaystyle f(z):{\bar {D}}\to \mathbb {C} }$ פונקציה רציפה על ${\displaystyle \partial D}$ והולומורפית ב־${\displaystyle D}$ . אז האינטגרל המסילתי ${\displaystyle \oint \limits _{\partial D}f(z)dz=0}$ , כאשר האינטגרל על שפת התחום הוא סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.

המשפט נובע מן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי ${\displaystyle f}$ הולומורפית ב־${\displaystyle D}$ ו־${\displaystyle \triangle }$ משולש המוכל עם פנימו ב־${\displaystyle D}$ . אז ${\displaystyle \oint \limits _{\partial \triangle }f(z)dz=0}$ .

הוכחה

${\displaystyle D}$ הוא התחום החסום על ידי העקום הגזיר למקוטעין הבנוי מ: ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}}$

${\displaystyle f=u+vi}$ פונקציה הולומורפית בעלת נגזרות חלקיות רציפות במרחב פשוט קשר ${\displaystyle D}$ ועל שפתו ${\displaystyle \partial D}$ . מתקיים

${\displaystyle \oint \limits _{\partial D}f(z)dz=\oint \limits _{\partial D}(u+vi)(dx+dy\,i)=\oint \limits _{\partial D}(u\,dx-v\,dy)+i\oint \limits _{\partial D}(v\,dx+u\,dy)}$

הפונקציה מקיימת את משוואות קושי-רימן וכל אחד מרכיבי האינטגרציה מקיים את תנאי משפט גרין

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\oint \limits _{\partial D}(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)dx\,dy=0\\\oint \limits _{\partial D}(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)dx\,dy=0\end{aligned}}}$

כלומר ${\displaystyle \oint \limits _{\partial D}f(z)dz=0}$ .