משפט גרין

משפט גרין הוא משפט באנליזה מתמטית המגדיר קשר בין אינטגרל קווי של פונקציה על עקום סגור ופשוט לבין האינטגרל הכפול על השטח החסום על ידי העקום. משפט גרין הוא מקרה פרטי דו-ממדי של משפט סטוקס. הוא נקרא על שם המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' גרין.

למשפט שימושים רבים במתמטיקה ובהנדסה. לדוגמה, הבסיס המתמטי לפעולת הפלנימטר, שהוא מכשיר המודד שטח של צורה מישורית כלשהי, הוא משפט גרין, או נוסחת הסקטור של לייבניץ כמקרה פרטי שלו. ממשפט גרין נובעת נוסחת השרוך.

המשפט: תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין החוסמת שטח ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , ונסמן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} את השטח החסום על ידי המסילה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} . אם ${\displaystyle P(x,y),Q(x,y)}$ פונקציות גזירות עד סדר ראשון בסביבה המכילה את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} , אזי:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \oint _{C}(P\,dx+Q\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy}

כאשר הביטוי משמאל מגדיר אינטגרל קווי על עקום סגור (ולכן סימון העיגול על סימן האינטגרל) ומימין מבוטא האינטגרל הכפול עבור שטח התחום הסגור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} .

סימון מקובל בפיזיקה

מקרה שימושי במיוחד הוא כאשר הפונקציות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle P,Q} הן רכיבים של שדה וקטורי: ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {r}})=(P,Q)}$ . הסימון המקובל הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle P=f_{x},Q=f_{y}} . במקרה זה המשפט מקשר בין האינטגרל המשטחי על שטף הרוטור של השדה הווקטורי, לבין האינטגרל המסילתי של השדה. אם נסמן ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat n} את הווקטור הניצב למשטח, וב-${\displaystyle d{\vec {l}}}$ את אלמנט המסילה המקיפה את המשטח, ניסוח המשפט יהיה

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \oint _{C}{\vec {f}}\cdot d{\vec {l}}=\iint _{D}({\vec {\nabla }}\times {\vec {f}})\cdot {\hat {n}}}

בניסוח הזה, המשפט הוא כללי יותר. הוא תקף לא רק כאשר התחום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} מוכל במישור, אלא גם במקרה כללי שבו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} הוא יריעה חלקה דו-ממדית פשוטת קשר, והעקום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} הוא שפת היריעה (שצריכה להיות גזירה למקוטעין).

שימוש לדוגמה: שדה מגנטי מסביב לתיל נושא זרם

נניח כי נתון לנו תיל ישר, אינסופי, הנושא זרם ${\displaystyle I}$ . הקשר בין הזרם לשדה המגנטי נתון (במקרה הסטטי) על ידי חוק אמפר:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J}

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B} הוא השדה המגנטי, ${\displaystyle {\vec {J}}}$ הוא צפיפות הזרם, ו-${\displaystyle \mu _{0}}$ הוא קבוע הפרמאביליות של הריק. נבנה משטח מעגלי מאונך לתיל ברדיוס ${\displaystyle r}$ , שמרכזו נמצא על התיל (כמו קווי השדה האדומים בתמונה). נסמן את המשטח ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} ואת העקום המקיף אותו ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} . מכיוון שהמערכת סימטרית לסיבוב סביב התיל, השדה המגנטי לאורך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} קבוע. משיקולים אחרים^[1] ניתן לקבל שכיוון השדה המגנטי משיק ל C בכל נקודה. לכן, האינטגרל המסלולי על השדה המגנטי שווה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint_C\vec B\cdot d\vec l=\int_CB=2\pi rB}

כאשר ${\displaystyle B=|{\vec {B}}|}$ . עכשיו נשתמש במשפט גרין ובחוק אמפר כדי לחשב את גודל השדה:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2\pi rB=\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\iint _{D}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\cdot {\hat {n}}=\iint _{D}\mu _{0}{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}}

לפי הגדרה, האינטגרל על צפיפות הזרם הוא הזרם, ולכן קיבלנו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi rB=\mu_0I} , או בניסוח המקובל יותר:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}}

הוכחה עבור תחום סטנדרטי

כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} הוא התחום הסטנדרטי החסום על ידי העקום הגזיר למקוטעין הבנוי מ: ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}}$

זוהי הוכחה עבור תחום סטנדרטי החסום על ידי שני ישרים מאונכים לציר X, ושתי פונקציות גזירות (בתמונה). מהוכחה זו ניתן גם להרחיב את המשפט עבור שטחים שניתנים לחלוקה למספר סופי של שטחים סטנדרטיים.

נוכיח כי מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int_CP\,dx&=\iint_D\left(-\frac{\part P}{\part y}\right)dA&(1)\\\int_CQ\,dy&=\iint_D\left(\frac{\part Q}{\part x}\right)dA&(2)\end{align}}

נגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=\Big\{(x,y):a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)\Big\}} כאשר ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ גזירות למקוטעין ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} .

נחשב את האינטגרל הקווי ב־(1) כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C=\bigcup_{k=1}^4C_k}  :

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int_CP\,dx=\int_{C_1}P(x,y)dx+\int_{C_2}P(x,y)dx+\int_{C_3}P(x,y)dx+\int_{C_4}P(x,y)dx\\\int_{C_1}P(x,y)dx=\int\limits_a^bP\bigl(x,g_1(x)\bigr)dx\\\int_{C_3}P(x,y)dx=\int\limits_b^aP\bigl(x,g_2(x)\bigr)dx=-\int\limits_a^bP\bigl(x,g_2(x)\bigr)dx\\\int_{C_2}P(x,y)dx=\int_{C_4}P(x,y)dx=0\end{align}}

מסקנה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int_CP\,dx&=\int\limits_a^bP\bigl(x,g_1(x)\bigr)dx-\int\limits_a^bP\bigl(x,g_2(x)\bigr)dx=-\int\limits_a^b\Big[P\bigl(x,g_2(x)\bigr)-P\bigl(x,g_1(x)\bigr)\Big]dx\\&=-\int\limits_a^b\int\limits_{g_1(x)}^{g_2(x)}\frac{\part P}{\part y}dy\,dx=\iint_D\left(-\frac{\part P}{\part y}\right)dx\,dy\end{align}}

בצורה דומה נוכל גם לקבל את (2).

ראו גם

• משפט גרין דיסקרטי

קישורים חיצוניים

קובץ:Commons-logo.svg ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

הערות שוליים