משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)

באנליזה מרוכבת, משפט ליוביל אומר כי פונקציה מרוכבת שלמה (כלומר, פונקציה שהולומורפית בכל המישור המרוכב) וחסומה חייבת להיות קבועה.

בין שימושיו של משפט זה ניתן למנות הוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה והוכחה אלגנטית לכך שספקטרום של אופרטור איננו ריק.

גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה לראשונה על-ידי ז'וזף ליוביל ב-1847 והמשפט המלא הוכח על-ידי אוגוסטן לואי קושי.

הוכחה

הוכחת המשפט מבוססת על שימוש בנוסחת האינטגרל של קושי. באמצעות הנוסחה מעריכים את הנגזרת של הפונקציה בכל נקודה. בשל שלמות הפונקציה, ערך הנגזרת נתון על-ידי אינטגרל סגור על מעגל סביב הנקודה שמחשבים את הנגזרת בה. ערך האינטגרל הולך וקטן כאשר מגדילים את רדיוס המעגל, וערך הנגזרת קטן מערך האינטגרלים על כל אחד מהמעגלים, ומכאן מסיקים כי בהכרח ערך הנגזרת הוא 0. מכיוון שערך הנגזרת של הפונקציה הוא 0 בכל נקודה, היא חייבת להיות קבועה.

על-פי נוסחת קושי מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|t-z|=R}{\frac {f(t)}{(t-z)^{2}}}dt\end{aligned}}}

נפעיל ערך מוחלט על שני האגפים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}|f'(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|t-z|=R}{\frac {f(t)}{(t-z)^{2}}}dt\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \limits _{|t-z|=R}{\frac {|f(t)|}{(t-z)^{2}}}|dt|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint \limits _{|t-z|=R}{\frac {M}{R^{2}}}|dt|\end{aligned}}}

המעבר האחרון מוצדק בכך שהפונקציה שלנו חסומה, כלומר מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(z)|\le M} לכל נקודה במישור עבור ${\displaystyle M}$ מסוים, ובכך שאנו לוקחים את האינטגרל על מעגל, ולכן מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |t-z|=R} .

אינטגרל של פונקציה קבועה על מעגל שווה להיקפו, ולכן נקבל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\frac1{2\pi}\oint_{|t-z|=R}\frac{M}{R^2}|dt|=\frac1{2\pi}\cdot\frac{M\cdot2\pi R}{R^2}=\frac{M}{R}\end{align}}

וזה נכון עבור כל מעגל שניקח סביב הנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , משום שהפונקציה הולומורפית בכל המישור.

לכן קיבלנו כי לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon>0} קיים ${\displaystyle R}$ גדול דיו כך שיתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle |f'(z)|\leq {\frac {M}{R}}<\varepsilon } , ולכן בהכרח ${\displaystyle |f'(z)|=0}$ , דבר המתקיים רק כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(z)=0} .

הכללות וחיזוקים

• תהי ${\displaystyle f}$ שלמה, ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r>0} נגדיר:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_f(r)=\underset{|z|=r}\max|f(z)|\ ,\ A_f(r)=\underset{|z|=r}\max\Big|\text{Re}\big(f(z)\big)\Big|}

אם קיימים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C>0,a>0} ממשיים כך שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_f(r)\le Cr^a,r\to\infty} או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_f(r)\le Cr^a,r\to\infty} ,

אז ${\displaystyle f}$ פולינום ממעלה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor a\rfloor} – הערך השלם של ${\displaystyle a}$ (משפט ליוביל מתקבל כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=0} ).

• מסקנה נוספת מהנ"ל, הידועה כמשפט הדמר, היא – אם ${\displaystyle f}$ פונקציה שלמה ללא אפסים ומתקיים ${\displaystyle M_{f}(r)\leq C^{r^{a}},r\to \infty }$ עם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C>1} , אזי היא מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z)=e^{p(z)}} כאשר ${\displaystyle p}$ פולינום ממעלה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor a\rfloor} (המשפט מתקבל מהנ"ל עם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(f)} ).

• המשפט הקטן של פיקארד מחזק את משפט ליוביל. הוא קובע כי כל פונקציה שלמה ולא קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב מלבד אולי ערך אחד (למשל פונקציית האקספוננט מקבלת כל ערך מלבד 0).

• המשפט נכון גם עבור פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים, כלומר – פונקציה הולומורפית בכמה משתנים אשר חסומה היא קבועה.

• כל פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי היא בהכרח קבועה (שכן מהקומפקטיות נובע שהפונקציה חסומה).

ראו גם

• תכונת ליוביל