משפט השאריות

באנליזה מרוכבת, משפט השאריות הוא משפט חשוב המאפשר לחשב אינטגרלים על מסלול סגור של פונקציות הולומורפיות באמצעות הכרת התנהגותן בנקודות הסינגולריות שלהן.

משפט זה הוא הכללה למשפט האינטגרל של קושי ונוסחת האינטגרל של קושי, ובנוסף לחשיבותו בתחום האנליזה המרוכבת, הוא גם מאפשר חישוב נוח של אינטגרלים ממשיים שלעתים לא ניתן לחשב בדרך אחרת.

ניסוח פורמלי

יהי ${\displaystyle D}$ מרחב פשוט קשר ויהי ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ אוסף סופי של נקודות ב־${\displaystyle D}$. יהי ${\displaystyle D^{*}=D-\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$, תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה הולומורפית ב־${\displaystyle D^{*}}$ ותהי ${\displaystyle \gamma }$ מסילה סגורה ב־${\displaystyle D^{*}}$ כך שכל הנקודות הנ.ל מוקפות על ידה.

השארית של הפונקציה ${\displaystyle f}$ בנקודה ${\displaystyle a_{k}}$ היא המקדם של החזקה ${\displaystyle (z-a_{k})^{-1}}$ בטור לורן של הפונקציה סביב הנקודה ${\displaystyle a_{k}}$. נסמנה ${\displaystyle {\text{Res}}(f,a_{k})}$.

כמו כן נסמן ב־${\displaystyle {\text{I}}(\gamma ,a_{k})}$ את מספר הפעמים שבו המסילה ${\displaystyle \gamma }$ מקיפה את הנקודה ${\displaystyle a_{k}}$ (האינדקס של המסילה)

אזי מתקיים

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{i=1}^{n}{\text{I}}(\gamma ,a_{i})\cdot {\text{Res}}(f,a_{i})}$

כלומר, האינטגרל על המסילה שווה למכפלת ${\displaystyle 2\pi i}$ בסכום השאריות של נקודות הסינגולריות בתחום שמקיפה המסילה, כאשר כל שארית נלקחת כמספר הפעמים שמוקפת הנקודה הסינגולרית שלה.

הוכחה

על פי משפט האינטגרל של קושי, די להראות כי ${\displaystyle \oint \limits _{|z-a_{k}|=r}f(z)dz=2\pi i\cdot {\text{Res}}(f,a_{k})}$ כאשר האינטגרל נלקח על מעגל קטן דיו סביב הנקודה ${\displaystyle a_{k}}$ כך שאינו מכיל נקודות סינגולריות נוספות של הפונקציה.

מכיוון שהפונקציה אנליטית סביב הנקודה ${\displaystyle a_{k}}$, ניתן לפתח אותה לטור לורן סביב נקודה זו: ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a_{k})^{n}}$. מכיוון שטור זה מתכנס במידה שווה מתקיים

${\displaystyle \oint \limits _{|z-a_{k}|=r}\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a_{k})^{n}dz=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\oint \limits _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{n}dz}$

כעת, עבור ${\displaystyle n\geq 0}$ הפונקציה ${\displaystyle (z-a_{k})^{n}}$ אנליטית בכל העיגול ${\displaystyle |z-a_{k}|\leq r}$, ולכן על פי משפט אינטגרל קושי ${\displaystyle \oint \limits _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{n}dz=0}$.

עבור ${\displaystyle n<-1}$ מתקיים גם כן ${\displaystyle \oint \limits _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{n}dz=0}$ ואילו עבור ${\displaystyle n=-1}$ מתקיים ${\displaystyle \oint \limits _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{n}dz=2\pi i}$. את ההוכחה לכך ניתן לראות בהוכחת נוסחת האינטגרל של קושי.

מכל אלו נובע כי ${\displaystyle \oint \limits _{|z-a_{k}|=r}\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a_{k})^{n}dz=c_{-1}\oint \limits _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{-1}dz=2\pi i\,{\text{Res}}(f,a_{k})}$ כמבוקש.

דוגמה

נרצה לחשב את האינטגרל הבא: ${\displaystyle \oint \limits _{|z|=2}{\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}dz}$

נשים לב כי בתוך המעגל ${\displaystyle \{z:|z|=2\}}$ נקודת הסינגולריות היחידה של ${\displaystyle f(z)={\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}}$ היא ${\displaystyle z=1}$.

לכן לפי משפט השאריות: ${\displaystyle \oint \limits _{|z|=2}{\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}dz=\oint \limits _{|z|=2}{f(z)}dz=2\pi i\,{\text{Res}}(f,1)}$

נשתמש בפיתוח הפונקציה לטור לורן על מנת לחשב את השארית.

כידוע לנו ${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$. לכן ${\displaystyle e^{\frac {1}{z-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n}}{n!}}}$.

נשוב לפונקציה המקורית שלנו:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)={\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}&={\frac {(z-1+1)}{(z-1)^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n}}{n!}}\\&={\frac {(z-1)}{(z-1)^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n}}{n!}}+{\frac {1}{(z-1)^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n-1}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n-2}}{n!}}\end{aligned}}}$

וכפי שאמרנו השארית היא המקדם של האבר ${\displaystyle (z-1)^{-1}}$ בטור לורן ולכן נקבל כי ${\displaystyle {\text{Res}}(f,1)=1}$.

לכן מתקיים כי ${\displaystyle \oint \limits _{|z|=2}{\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}dz=\oint \limits _{|z|=2}{f(z)dz}=2\pi i}$.

ראו גם

• עקרון הארגומנט

קישורים חיצוניים

• דוגמאות והסברים על יישום משפט השאריות לפתרון אינטגרלי קונטור
• משפט השאריות, באתר MathWorld (באנגלית)