עקרון המקסימום של האוסדורף

במתמטיקה, עקרון המקסימום של האוסדורף הוא ניסוח אלטרנטיבי ומוקדם יותר ללמה של צורן, אשר הוכח על ידי פליקס האוסדורף בשנת 1914. על-פי עקרון זה, בכל קבוצה סדורה חלקית, כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.

עקרון המקסימום של האוסדורף הוא אחת מתוך טענות רבות השקולות לאקסיומת הבחירה במסגרת מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתורת הקבוצות.

ניסוח שקול

בכל קבוצה סדורה חלקית קיימת שרשרת מקסימלית.

על מנת להוכיח שניסוח זה נובע מעקרון המקסימום, נניח כי A היא קבוצה סדורה חלקית. אזי ${\displaystyle \varnothing }$ מהווה שרשרת ב-A, כלומר קיימת שרשרת מקסימלית ב-A המכילה את ${\displaystyle \varnothing }$, ובפרט ב-A קיימת שרשרת מקסימלית.

בכוון השני, תהא A קבוצה סדורה חלקית, ותהא ${\displaystyle T\subseteq A}$ שרשרת. נתבונן באוסף השרשראות S המקיימות ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq A}$. אוסף זה מהווה קבוצה סדורה חלקית עם יחס סדר של הכלה, מכאן שהוא מכיל שרשרת מקסימלית C. הקבוצה ${\displaystyle M=\bigcup C}$, אם כן, היא שרשרת מקסימלית המכילה את T, כנדרש.

באופן דומה ניתן להוכיח כי עקרון המקסימום של האוסדורף שקול ללמה של צורן.