טנגנס

גרף הפונקציה טנגנס

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

טנגנס (מסומן כ-tan או tg)^[1] היא פונקציה טריגונמטרית בסיסית.

הגדרות

הגדרה בסיסית

במשולש זה, טנגנס הזווית A שווה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a}{b}}

בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הטנגנס מציינת, כפונקציה של זווית, את היחס במשולש ישר-זווית בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או ${\frac {\pi }{2}}$ רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הטנגנס של זווית מוגדר היטב.

כמו כן, נפוץ מאד השימוש בפונקציית הטנגנס כמנה של סינוס וקוסינוס בעלי אותה זווית. קל להגיע לזהות זו באמצעות הצבת היחסים שמייצגות פונקציות הסינוס והקוסינוס:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \sin x = {a \over c} \\ \cos x = {b \over c} \\ \tan x = {\sin x \over \cos x} \end{cases} \Longleftrightarrow \ \tan x = {a/c \over b/c} = {a \over b} }

הרחבה

תמונה זאת מדגימה את הדרך השנייה להגדיר טנגנס.

ניתן להרחיב את הטנגנס לכל זווית ממשית באמצעות מעגל היחידה, כאשר הרדיוס "מסתובב" נגד כיוון השעון כמספר הזווית (אם היא שלילית אז עם כיוון השעון). קיימות שתי דרכים לעשות זאת:

טנגנס הזווית שווה ליחס בין שיעור ה-y של קצה הרדיוס (הסינוס של הזווית) לשיעור ה-x שלה (הקוסינוס של הזווית): $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ .
מעבירים למעגל משיק מהנקודה (1,0), וממשיכים את הרדיוס. שיעור ה-y של הנקודה בה הם נחתכים שווה לטנגנס הזווית.

פונקציה הטנגנס אינה מוגדרת עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x = \frac{\pi}{2} + \pi k} כאשר $\ k$ מספר שלם, כיוון שבדרך הראשונה, הקוסינוס שווה ל-0 (ומתקבלת חלוקה באפס), ובדרך השנייה הרדיוס מקביל למשיק ולא חותך אותו.

טור טיילור

ניתן להגדיר את הפונקציה באמצעות טור טיילור: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} כאשר $\ B_{n}$ הוא מספר ברנולי ה-n.

הצגה מפורשת לתחילת הטור: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \tan x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}

קוטנגנס

בדומה לפונקציית הקוסינוס שמתקבלת מפונקציית הסינוס על ידי הזווית המשלימה לזווית ישרה, ניתן גם להגדיר את פונקציית הקוטנגנס: $\cot x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$ , אלא שפונקציה זאת שימושית הרבה פחות בגלל הזהות $\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\tan x}}$ , לפיה במקום השימוש בקוטנגנס אפשר פשוט להשתמש בהופכי של הטנגנס.

תכונות

פונקציית הטנגנס היא אי-זוגית, משום שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \ (-x) = -\tan \ (x)} .
לפונקציה יש מחזור של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi} .
הפונקציה מוגדרת לכל x, מלבד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x = \frac{\pi}{2} + \pi k} כאשר $\ k$ מספר שלם. נקודות אלו הן גם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.
הפונקציה רציפה, גזירה ואינטגרבילית בכל נקודה שבה היא מוגדרת. הפונקציה עולה בכל קטע שבו היא מוגדרת, ואין לה נקודות קיצון.
לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה $\ x=\pi k$ , כאשר $\ k$ מספר שלם.
לפי כלל המנה, נגזרת הפונקציה היא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\operatorname{d}\! \over \operatorname{d}\! x} \tan x = {\operatorname{d}\! \over \operatorname{d}\! x} \left(\frac{\sin x}{\cos x} \right) = \frac{\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{\cos ^2 x} }
הקדומה של הפונקציה היא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \tan x \,dx = - \ln |\cos x|+C}

זהויות

ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות

פונקציית הטנגנס מקיימת: $\ \tan(-\theta )=-\tan \theta$ וכן $\ \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$
בעזרת פונקציית הטנגנס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): $\sin \theta ={\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$ ‏, עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} ‏, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\theta = {1 \over \tan\theta} } ‏, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc\theta = {\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta} } ‏, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec\theta = \sqrt{1 + \tan^2\theta} }
סכום זוויות: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\theta \pm \varphi) = \frac{\tan \theta \pm \tan \varphi}{1 \mp \tan \theta \tan \varphi}}
זווית כפולה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\, } ‏, $\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$
חצי זווית: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}}
ממוצע זוויות: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta} }
אם x, y, ו-z הן שלוש זוויות של משולש כלשהו, כלומר אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ = \pi = x + y + z } חצי מעגל (180°), אזי:

$\ \tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z)$

הפונקציה ההפוכה

גרף פונקציית הארכטנגנס

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הטנגנס נקראת ארקטנגנס ומסומנת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \arctan } או $\ \tan ^{-1}$ . הפונקציה מוגדרת ועולה לכל x, וכיוון שפונקציית הטנגנס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים $\ (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$ . הנגזרת שלה היא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}} .

משפט הטנגנסים

ערך מורחב – משפט הטנגנסים

משפט הטנגנסים הוא משפט המציין תכונה של צלעות וזוויות במשולש. אם שתיים מהצלעות הן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a, b} והזוויות שמולן הן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha, \beta} בהתאמה, אז מתקיים:

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}

.

ראו גם

קישורים חיצוניים

קובץ:Commons-logo.svg ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

הערות שוליים

↑ נקרא גם נוגע, (ראה למשל בחזון אי"ש אורח חיים סימן קט"ו ס"ק ל"ג סוף ד"ה כשם)

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] נקרא גם נוגע, (ראה למשל בחזון אי"ש אורח חיים סימן קט"ו ס"ק ל"ג סוף ד"ה כשם)