פונקציית אוילר

1,000 הערכים הראשונים של פונקציית אוילר

פונקציית אוילר, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית.

הפונקציה, אותה מקובל לסמן באות היוונית ${\displaystyle \varphi }$ (פי), מוגדרת באופן הבא: ${\displaystyle \varphi (n)}$ שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל-${\displaystyle n}$ ואינם גדולים ממנו.

למשל, ${\displaystyle \varphi (5)=|\{1,2,3,4\}|=4\ ,\ \varphi (6)=|\{1,5\}|=2}$ , ואילו ${\displaystyle \varphi (1)=|\{1\}|=1}$ (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו).

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל אבר בחבורת אוילר מסדר ${\displaystyle n}$ מחלק את ${\displaystyle \varphi (n)}$ .

חישוב הפונקציה

אם ${\displaystyle p}$ מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ-${\displaystyle p}$ זרים לו, ולכן ${\displaystyle \varphi (p)=p-1}$ . באופן כללי יותר, המספרים הזרים ל-${\displaystyle p^{s}}$ הם כל אלו שאינם מתחלקים ב-${\displaystyle p}$ , ולכן

${\displaystyle \varphi (p^{s})=p^{s-1}(p-1)=p^{s}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר, ${\displaystyle \varphi (nm)=\varphi (n)\varphi (m)}$ כל אימת שהמספרים ${\displaystyle n,m}$ זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה

${\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}}}\right)}$

כאשר ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ הם הגורמים הראשוניים השונים של ${\displaystyle n}$ . למשל ${\displaystyle \varphi (45)=45\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{5}}\right)=24}$ .

תכונות הפונקציה

פונקציית אוילר מקיימת את הזהות ${\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n}$ , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של אברים בחבורה הציקלית ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ .

לכל ${\displaystyle n>2}$ , ${\displaystyle \varphi (n)}$ מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם ${\displaystyle n=2^{k}}$ עבור ${\displaystyle k>1}$ אז

${\displaystyle \varphi (n)=2^{k}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=2^{k-1}}$

אחרת, ל-${\displaystyle n}$ יש מחלק ${\displaystyle p}$ ראשוני אי־זוגי, כלומר הוא מהצורה ${\displaystyle n=p^{k}m}$ , ולכן:

${\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})\varphi (m)=p^{k-1}(p-1)\varphi (m)}$

כאשר ${\displaystyle p-1}$ זוגי.

הערך הממוצע של הפונקציה הוא^[1] ${\displaystyle {\frac {\varphi (1)+\cdots +\varphi (n)}{n}}\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}n}$ . הגבול התחתון של היחס ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n/\ln {\bigl (}\ln(n){\bigr )}}}}$ הוא ${\displaystyle e^{-\gamma }}$ , כאשר ${\displaystyle \gamma }$ הוא קבוע אוילר.

בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית ${\displaystyle \mathbb {Q} [\rho _{n}]/\mathbb {Q} }$ של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר ${\displaystyle n}$ (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי־פריק).

מקורות

• Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

הערות שוליים