חוג השלמים של אייזנשטיין

במתמטיקה, חוג השלמים של אייזנשטיין הוא החוג ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]=\{a+b\omega :a,b\in \mathbb {Z} \}}$ כאשר ${\displaystyle \ \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2i\pi }{3}}}$ הוא שורש שלישי פרימיטיבי של היחידה. אברי החוג, הנקראים מספרי אייזנשטיין (ולפעמים מספרי אוילר), מרכיבים סריג משולשי במישור המרוכב, בדומה לשלמים של גאוס, היוצרים סריג ריבועי. השלמים של אייזנשטיין מופיעים בהוכחה של לנדאו למקרה n=3 במשפט האחרון של פרמה^[1], שאותו הוכיחו אוילר ולז'נדר באופן ישיר יותר.

חוג השלמים של אייזנשטיין הוא תחום שלמות אוקלידי, שהוא חוג השלמים של שדה המספרים ${\displaystyle \ \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]}$ . את פעולת הכפל אפשר לחשב מן הזהות ${\displaystyle \ \omega ^{2}+\omega +1=0}$ . הנורמה של מספרי אייזנשטיין היא ${\displaystyle \ N(a+b\omega )=(a+b\omega )(b+b\omega ^{-1})=a^{2}-ab+b^{2}}$ . בחוג הזה יש ששה אברים הפיכים: החזקות של ${\displaystyle \ -\omega }$ .

הראשוניים של אייזנשטיין

הראשוניים בחוג השלמים של אייזנשטיין שייכים לשלוש קבוצות: (1) ראשוניים טבעיים השקולים ל-2 מודולו 3; (1) המספר ${\displaystyle \ 1-\omega }$ , שהנורמה שלו היא 3; (3) מספרי אייזנשטיין בעלי נורמה ראשונית השקולה ל-1 מודולו 3 (כגון ${\displaystyle 3+2\omega }$ שהנורמה שלו 7, או ${\displaystyle 3-2\omega }$ שהנורמה שלו 19).

הערות שוליים

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$ • אוקטוניונים ${\displaystyle \ {\mathbb {O} }}$ • אלגברות קיילי-דיקסון