שדה המספרים ה-p-אדיים

במתמטיקה, שדה המספרים ה־p־אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה־p־אדיים. יש שדה p־אדי אחד לכל מספר ראשוני p, ומקובל לסמנו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}_p} . כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה־p־אדיים נקראת "שדה p־אדי".

על שדה המספרים ה־p־אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא p־אדי עבור p כלשהוא.

את המספרים ה־p־אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה ה-20, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות.

תכונות

כל מספר p־אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{i=-N}^{\infty}a_i p^i} כאשר N שלם ו- $\ a_{i}\in \{0,1,\dots ,p-1\}$ . החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

אלגברה

המספרים מהצורה $\ \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}$ נקראים "שלמים p־אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}_p} , שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת־הפסקה הבאה) של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}_p} ; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר p: $\ \mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$ . חוג השלמים ה־p־אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה $\ \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ .

טופולוגיה

על שדה המספרים ה־p־אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \nu(\sum_{i=-N}^{\infty}a_ip^i) = -N} (בהנחה כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_{-N} \neq 0} ), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |f| = p^{-\nu(f)}} ומטריקה ( $\ d(x,y)=|x-y|$ ), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה־p־אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אך הוא קומפקטי מקומית.

אריתמטיקה

שורשי היחידה ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}_p} הם אלו שסדרם מחלק את p-1. כאשר p אי־זוגי, לשלם רציונלי a שאינו מתחלק ב־p יש שורש p־אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו p (כך למשל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{-1}, \sqrt{11}, \sqrt{19} \in \mathbb{Q}_5} ); עבור p=2 התנאי הוא שיהיה ל־a שורש מודולו 8, ולמשל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{3} \not \in \mathbb{Q}_2} . למת הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה־p־אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות $\ \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ .

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה – המרוכבים – לשדה המספרים ה־p־אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל ממד, ומספרן (בכל ממד) סופי. אם p אי־זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה־2־אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל ממד.

הסגור האלגברי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \overline{\mathbb{Q}_p}} אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{C}_p} , ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{C}_p} איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{C}} .

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}_p} היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_{p}/\mathbb{Q}_{p})} היא פרו-פתירה.

ראו גם

חוג האדלים
משפט גרונוולד-ואנג

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים $\mathbb {N}$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס $\ \mathbb {Z} [i]$ • חוג השלמים האלגבריים $\ {\overline {\mathbb {Z} }}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין $\ \mathbb {Z} [\omega ]$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים $\ {\overline {\mathbb {Q} }}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים $\mathbb {Q} _{p}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת הקווטרניונים של המילטון $\ {\mathbb {H} }$ • אוקטוניונים $\ {\mathbb {O} }$ • אלגברות קיילי-דיקסון