חוג השלמים האלגבריים

חוג השלמים האלגברים הוא חוג הכולל את כל המספרים האלגברים שהם פתרונות של פולינום מתוקן עם מקדמים שלמים. החוג הזה הוא תת־חוג של שדה המספרים האלגברים. חוג השלמים האלגבריים הוא תחום פרופר שאינו חוג דדקינד.

הגדרות שקולות לשלם אלגברי

בהינתן ${\displaystyle K}$ הרחבה סופית של שדה המספרים הרציונליים, אז ההגדרות הבאות שקולות:

• ${\displaystyle \alpha \in K}$ הוא שלם אלגברי אם קיים פולינום מתוקן ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ עבורו ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ .
• ${\displaystyle \alpha \in K}$ הוא שלם אלגברי אם הפולינום המתוקן המינימלי של ${\displaystyle \alpha }$ מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ שייך ל־${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ .
• ${\displaystyle \alpha \in K}$ הוא שלם אלגברי אם הוא איבר שלם של ההרחבה הסופית ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ .

דוגמאות לאברים

• כל מספר שלם הוא שלם אלגברי.
• כל שורש יחידה הוא שלם אלגברי.

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$ • אוקטוניונים ${\displaystyle \ {\mathbb {O} }}$ • אלגברות קיילי-דיקסון