שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים

לחלק מהאינטגרלים הלא־מסוימים ניתן למצוא פתרון אנליטי כללי, כלומר פתרון של האינטגרל מהצורה: $\int f(x)dx$ . בעזרת פתרון כזה ניתן לקבל (בעזרת המשפט היסודי) גם פתרון לאינטגרל מסוים.

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה:

פונקציות אלמנטריות

לפונקציות שהן חזקות של $x$ , פונקציות טריגונומטריות רגילות והופכיות, פונקציית אקספוננט, לוגריתם, פונקציות היפרבוליות רגילות והפוכות וכיוצא באלו יש נגזרות אנליטיות.

כיוון שאם מתקיים $F'(x)=f(x)$ אזי $F(x)+C$ הוא האינטגרל הלא-מסוים של $f(x)$ – ניתן לקבל מנגזרות אלו נוסחאות מיידיות לאינטגרציה.

דוגמאות לכך הן:

{\frac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}\ \Rightarrow \ \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\ ,\ n\neq -1

{\frac {d}{dx}}(\sin(x))=\cos(x)\ \Rightarrow \ \int \cos(x)dx=\sin(x)+C

{\frac {d}{dx}}(\ln(x))={\frac {1}{x}}\ \Rightarrow \ \int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C

{\frac {d}{dx}}(a^{x})=\ln(a)\cdot a^{x}\ \Rightarrow \ \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+C

תכונת הלינאריות

אם $f,g$ הן אינטגרביליות בקטע $I$ ו- $\alpha ,\beta$ קבועים אזי מתקיים:

\int {\bigl [}\alpha \!\cdot \!f(x)+\beta \!\cdot \!g(x){\bigr ]}dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx

לדוגמה:

{\begin{aligned}\int \left[{\frac {8}{\sin(x)^{2}}}+3\cdot 8^{x}\right]dx=8\int {\frac {dx}{\sin(x)^{2}}}+3\int 8^{x}dx=-8\cot(x)+{\frac {3\cdot 8^{x}}{\ln(8)}}+C\end{aligned}}

אפשר להכליל את הנוסחה גם למספר גדול יותר של פונקציות ומקדמיהם.

אינטגרציה של פונקציות עם פרמטר לינארי

כאשר ניתן לכתוב את הפונקציה בתוך האינטגרל בצורה $f(ax+b)$ ומתקיים $F'(x)=f(x)$ אזי ניתן להשתמש בנוסחה:

\int f(ax+b)dx={\frac {F(ax+b)}{a}}+C

אינטגרציה בחלקים

בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות $f,g$ , מתקיים:

\int f(x)\!\cdot \!g'(x)dx=f(x)\!\cdot \!g(x)-\int f'(x)\!\cdot \!g(x)dx

לדוגמה:

\int \ln(x)dx=\int 1\!\cdot \!\ln(x)dx=x\ln(x)-\int dx=x\ln(x)-x+C

הצגה שונה של הפונקציה

לעיתים ניתן להציג את הפונקציה שבתוך האינטגרל בצורה שונה, שניתן לבצע עליה אינטגרציה בצורה קלה יותר. דוגמאות לכך הן למשל:

{\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}-1}}dx&={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x+1}}\right)dx={\frac {1}{2}}{\big (}\ln |x-1|-\ln |x+1|{\big )}+C={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|+C\\\\\int e^{x}\sin(x)dx&=\int e^{x}\!\cdot \!{\text{Im}}(e^{xi})dx={\text{Im}}\left(\int e^{x+xi}dx\right)={\text{Im}}\left[{\frac {e^{x+xi}}{1+i}}\right]={\text{Im}}\left[{\frac {(1-i)e^{x+xi}}{2}}\right]\\&={\frac {e^{x}{\big (}\sin(x)-\cos(x){\big )}}{2}}+C\end{aligned}}

פירוק לשברים חלקיים

אינטגרלים מהצורה

\int {\frac {1}{a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}}}dx

אפשר לפתור על ידי פירוק הפולינום לשברים חלקיים.

לדוגמה:

\int {\frac {1}{x(1-x)}}dx

נרשום

{\frac {1}{x(1-x)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{1-x}}

ניקח מכנה משותף

{\frac {A(1-x)+Bx}{x(1-x)}}

נפתח סוגריים

{\frac {A-Ax+Bx}{x(1-x)}}

ונשווה את מקדמי המונה איבר-איבר:

A=1,B-A=0

שכן בביטוי המקורי לא מופיע $x$ במונה. פתרון מערכת המשוואות הוא $A=1,B=1$ . בסך הכל:

{\begin{aligned}\int {\frac {1}{x(1-x)}}dx=\int \left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx=\ln |x|-\ln |1-x|+C=\ln \left|{\frac {x}{x-1}}\right|+C\end{aligned}}

שיטת ההצבה

הצבה היא שיטה לפתרון אינטגרלים לא-מסוימים על ידי פישוט זמני של הפונקציה. בעזרת "הצבה" זמנית נמיר את הפונקציה לפונקציה פשוטה יותר, עבורה נמצא פונקציה קדומה. בסיומו של ההליך נבצע הצבה נוספת, כדי לחזור לצורה המקורית, ונקבל את משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית.

לאורך התהליך נהוג להחליף את האות המייצגת את משתנה האינטגרציה בכל הצבה, על מנת לזכור את ההצבות שבוצעו. בסוף התהליך, לאחר שחושבה פונקציה קדומה, ניתן להמיר את האותיות חזרה על מנת להשלים את הפעולה.

הצבה כאשר הנגזרת הפנימית מופיעה

במקרה הפשוט ביותר, ננסה לחשב אינטגרל לא-מסוים מהצורה $\int f{\bigl (}\varphi (x){\bigr )}\!\cdot \!\varphi '(x)dx$ .

כדי לפשט את האינטגרל, "נציב" באופן זמני

{\begin{bmatrix}t=\varphi (x)\\dt=\varphi '(x)dx\end{bmatrix}}

ונחשב את האינטגרל $\int f(t)dt$ . לאחר שמצאנו קדומה כלשהי $F$ , נרכיב עליה חזרה $F\circ \varphi$ , ונקבל כי משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית היא $F{\bigl (}\varphi (x){\bigr )}+C$ . למשל:

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {1-\ln(x)^{2}}}}}&\ \Rightarrow \ {\begin{bmatrix}t=\ln(x)\\dt={\frac {1}{x}}dx\end{bmatrix}}\\&\ =\ \int {\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\arcsin(t)+C=\arcsin {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+C\end{aligned}}

נוכיח את נכונות השיטה בעזרת כלל השרשרת. $F(x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$ , ולכן מתקיים $F'(x)=f(x)$ . נסתמך על כלל השרשרת, ונקבל כי

{\Big [}F{\bigl (}\varphi (x){\bigr )}{\Big ]}'=f{\bigl (}\varphi (x){\bigr )}\!\cdot \!\varphi '(x)

הצבה הפוכה

במקרה הכללי, בהינתן אינטגרל $\int f(x)dx$ נבצע "הצבה"

{\begin{bmatrix}x=\varphi (t)\\dx=\varphi '(t)dt\end{bmatrix}}

ונחשב את האינטגרל $\int f{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}\!\cdot \!\varphi '(t)dt$ . לאחר שמצאנו קדומה כלשהי $H$ , נרכיב עליה חזרה $H\circ \varphi ^{-1}$ , ונקבל כי משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית היא $H{\bigl (}\varphi ^{-1}(x){\bigr )}+C$ . למשל:

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{{\sqrt {x}}{\bigl (}1+{\sqrt[{3}]{x}}{\bigr )}}}&\Rightarrow {\begin{bmatrix}x=t^{6}\\dx=6t^{5}dt\end{bmatrix}}\\&=\int {\frac {6t^{5}}{t^{3}(1+t^{2})}}dt=6\int \left(1-{\frac {1}{1+t^{2}}}\right)dt=6{\big (}t-\arctan(t){\big )}+C=6{\Big [}{\sqrt[{6}]{x}}-\arctan \left({\sqrt[{6}]{x}}\right){\Big ]}+C\end{aligned}}

נוכיח את נכונות השיטה. הפונקציה $H(x)$ היא קדומה של הפונקציה $h(x)=f{\bigl (}\varphi (x){\bigr )}\!\cdot \!\varphi '(x)$ , ולכן מתקיים $H'(x)=h(x)$ . כעת נוכל להסתמך על כלל השרשרת ועל נוסחת הגזירה של פונקציה הפוכה, ונקבל כי

{\begin{aligned}{\Big [}H{\big (}\varphi ^{-1}(x){\big )}{\Big ]}'&={\color {blue}f{\Big (}}{\color {green}\varphi {\big (}}\varphi ^{-1}(x){\color {green}{\big )}}{\color {blue}{\Big )}}\!\cdot \!{\color {blue}\varphi '{\big (}}\varphi ^{-1}(x){\color {blue}{\big )}}\!\cdot \!{\big [}\varphi ^{-1}(x){\big ]}'\\&=f(x)\cdot {\frac {1}{{\Big [}{\color {blue}\varphi ^{-1}{\Big (}}{\color {green}\varphi {\big (}}\varphi ^{-1}(x){\color {green}{\big )}}{\color {blue}{\Big )}}{\Big ]}'}}\cdot [\varphi ^{-1}(x)]'=f(x)\cdot {\frac {1}{{\big [}\varphi ^{-1}(x){\big ]}'}}\cdot {\big [}\varphi ^{-1}(x){\big ]}'=f(x)\end{aligned}}

אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית

הצבות לפתרון אינטגרל מהצורה $\int R{\bigl [}\sin(x),\cos(x){\bigr ]}dx$ , כאשר $R$ פונקציה רציונלית (מנת פולינומים):

אם $R{\Big [}-\sin(x),\cos(x){\Big ]}=-R{\Big [}\sin(x),\cos(x){\Big ]}$ מומלץ להציב $u=\cos(x)$
אם $R{\Big [}\sin(x),-\cos(x){\Big ]}=-R{\Big [}\sin(x),\cos(x){\Big ]}$ מומלץ להציב $u=\sin(x)$
אם $R{\Big [}-\sin(x),-\cos(x){\Big ]}=R{\Big [}\sin(x),\cos(x){\Big ]}$ מומלץ להציב $u=\tan(x)$ או $u=\cot(x)$

הצבה טריגונומטרית מקובלת נוספת היא מהסוג: $\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=t$ . ואז מתקיים:

{\begin{aligned}\cos(x)&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\\sin(x)&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\\tan(x)&={\frac {2t}{1-t^{2}}}\\dx&={\frac {2}{1+t^{2}}}dt\end{aligned}}

הצבה זו נקראת ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית והיא מתאימה לכל אינטגרל טריגונומטרי מהצורה לעיל. הצבה אוניברסלית זו הנה פרמטריזציה של מעגל היחידה כאשר $t\in (-\infty ,\infty )$ .

ברוב המקרים, אם ניתן להשתמש באחת מההצבות האחרות, היא תביא לפתרון מהיר יותר.

למשל:

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sin(x)}}&\Rightarrow {\begin{bmatrix}t=\tan \left({\dfrac {x}{2}}\right)\\dx={\dfrac {2}{1+t^{2}}}dt\\\sin(x)={\dfrac {2t}{1+t^{2}}}\end{bmatrix}}\\&=\int {\frac {1+t^{2}}{2t}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|+C\end{aligned}}

הצבות לחיסול שורשים

אינטגרל מהצורה $\int x^{b}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx$ כאשר $b$ מספר אי-זוגי ניתן לפתור למשל באמצעות ההצבה: $t^{2}={a^{2}-x^{2}}$ . כאשר $b$ זוגי, ניתן לפתור את האינטגרל באמצעות ההצבות הבאות:

הצבות טריגונומטריות

באינטגרלים שונים, נדרשת הצבה מסוג זה כדי לפשט את האינטגרל, ולהביא לפתירתו, אף על פי שהאינטגרל עלול לא להכיל אף פונקציה טריגונומטרית אחת.

האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור $a$ קבוע חיובי ו- $b\geq 0$ שלם:

עבור $\int x^{2b}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=a\cos(t)$
עבור $\int x^{2b}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=a\tan(t)$
עבור $\int x^{2b}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx$ תתאים ההצבה $x={\frac {a}{\cos(t)}}$ או $x={\frac {a}{\sin(t)}}$

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

חצי העיגול העליון של מעגל היחידה:

{\begin{aligned}\int {\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&\Rightarrow {\begin{bmatrix}x=\cos(t)\\dx=-\sin(t)dt\\t=\arccos(x)\end{bmatrix}}\\&=\int -{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}\sin(t)dt=-\int \sin(t){\sqrt {\sin ^{2}(t)}}dt=-\int \sin ^{2}(t)dt={\frac {1}{2}}\int (\cos(2t)-1)dt\\&={\frac {1}{4}}\sin(2t)-{\frac {t}{2}}={\frac {\sin(t)\cos(t)}{2}}-{\frac {t}{2}}={\frac {{\sqrt {\cos(t)\sin ^{2}(t)}}-t}{2}}={\frac {\cos(t){\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}-t}{2}}\end{aligned}}

לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:

\int {\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}-\arccos(x)}{2}}+C

הצבות היפרבוליות

בדומה לאינטגרלים שהוזכרו קודם, קיימים אינטגרלים שהצבה מסוג היפרבולית תסייע לפתירתם.

האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור $a\,$ קבוע חיובי ו- $b\geq 0$ שלם:

עבור $\int x^{2b}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=a\sinh(t)$
עבור $\int x^{2b}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx$ תתאים ההצבה: $x=a\cosh(t)$

זאת בשל הנוסחה היסודית $\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$ .

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

חישוב אורך קשת של הפרבולה $y=x^{2}$ :

{\begin{aligned}\int {\sqrt {1+{(x^{2})'}^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {1+{(2x)}^{2}}}\,dx=\int {\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx\Rightarrow {\begin{bmatrix}x={\frac {1}{2}}\sinh(t)\\dx={\frac {1}{2}}\cosh(t)dt\\t={\text{arsinh}}(2x)\end{bmatrix}}\\&=\int {\sqrt {1+\sinh ^{2}(t)}}\cdot {\frac {1}{2}}\cosh(t)dt={\frac {1}{2}}\int \cosh(t){\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}dt={\frac {1}{2}}\int \cosh ^{2}(t)dt={\frac {1}{4}}\int (\cosh(2t)+1)dt\\&={\frac {1}{8}}\sinh(2t)+{\frac {t}{4}}={\frac {\sinh(t)\cosh(t)}{4}}+{\frac {t}{4}}={\frac {\sinh(t){\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}+t}{4}}={\frac {\sinh(t){\sqrt {1+\sinh ^{2}(t)}}+t}{4}}\end{aligned}}

לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:

\int {\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx={\frac {2x{\sqrt {1+4x^{2}}}+{\text{arsinh}}(2x)}{4}}+C

הצבות אוילר

עבור פונקציה רציונלית (מנה של שני פולינומים) ב- $x$ ושורש ריבועי של פולינום ריבועי מסוים ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ , ניתן לפעמים להשתמש בהצבות שפיתח לאונרד אוילר.

אם $a>0$ , נציב ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm {\sqrt {a}}x+t$ (את סימן המקדם של $x$ ניתן לבחור שרירותית). הצבה זו תיתן:

ax^{2}+bx+c=ax^{2}\pm 2{\sqrt {a}}xt+t^{2},\quad (b\mp 2{\sqrt {a}}t)x=t^{2}-c,\quad x={\frac {t^{2}-c}{b\mp 2{\sqrt {a}}t}}

אם $c>0$ , נציב ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}$ (שוב, את הסימן ניתן לבחור שרירותית). הצבה זו תיתן:

{ax^{2}+bx+c=x^{2}t^{2}\pm 2{\sqrt {c}}xt+c,\quad ax^{2}+bx=x^{2}t^{2}\pm 2{\sqrt {c}}xt,\quad (a-t^{2})x=\pm 2{\sqrt {c}}t-b,\quad x={\frac {\pm 2{\sqrt {c}}t-b}{a-t^{2}}}}

בשני המקרים, מגזירת הביטוי האחרון ניתן לקבל את הנגזרת ${\frac {dx}{dt}}$ כפונקציה רציונלית של $t$ בלבד, ובכך נהפך האינטגרל לאינטגרל של פונקציה רציונלית ב- $t$ .

ראו גם

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.