היפוגרף

במתמטיקה, היפוגרף של פונקציה ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ הוא קבוצה של הנקודות הנמצאות מתחת גרף הפונקציה או עליו:

${\displaystyle {\text{hyp}}f={\Big \{}(x,\mu ):x\in \mathbb {R} ^{n},\mu \in \mathbb {R} ,\mu \leq f(x){\Big \}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}}$

וההיפוגרף המוגבל היא קבוצת הנקודות הנמצאות מתחת לפונקציה:

${\displaystyle {\text{hyp}}_{S}f={\Big \{}(x,\mu ):x\in \mathbb {R} ^{n},\mu \in \mathbb {R} ,\mu <f(x){\Big \}}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}}$

ההיפוגרף היא הקבוצה הריקה אם הפונקציה שקולה לאינסוף (${\displaystyle f\equiv -\infty }$). אפשר להגדיר היפוגרף גם לפונקציה שתמונה שלה היא קבוצה כלשהי. בצורה דומה, אפשר להגדיר את הקבוצה של הנקודות הנמצאות מעל לפונקציה, שהיא האפיגרף. מאפיינים של ההיפוגרף הם:

• פונקציה היא פונקציה קעורה אם ההיפוגרף שלה היא קבוצה קמורה.
• פונקציה היא פונקציה רציפה למחצה אם ההיפוגרף שלה היא קבוצה סגורה.