משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ (או משפט שטולץ-צזארו) הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט מתקיים תחת תנאים מסוימים השוויון

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}}$

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842-1905) וארנסטו צזארו (1859-1906).

ניסוח המשפט

תהא ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה כלשהי, ותהא ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\to \infty }$ סדרה מונוטונית עולה ממש.

אם קיים הגבול במובן הרחב ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=L}$ , אזי גם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L}$ .

הוכחה

נוכיח את המקרה בו ${\displaystyle L}$ סופי.

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . לפי הגדרת הגבול קיים ${\displaystyle N}$ טבעי כך שלכל ${\displaystyle n>N}$ מתקיים

$${\displaystyle L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+{\frac {\varepsilon }{2}}}$$

כיוון שהסדרה ${\displaystyle y_{n}}$ מונוטונית עולה ממש, ${\displaystyle y_{n+1}>y_{n}}$ או ${\displaystyle y_{n+1}-y_{n}>0}$ וניתן להכפיל בו את אי-השוויון. נקבל:

$${\displaystyle \left(L-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(y_{n+1}-y_{n})<x_{n+1}-x_{n}<\left(L+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)(y_{n+1}-y_{n})}$$

יהי ${\displaystyle k>N}$ עבורו ${\displaystyle y_{k}>0}$ (בהכרח קיים ${\displaystyle k}$ כזה מפני שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת אי-השוויון לעיל לכל ${\displaystyle N+1\leq n\leq k}$ נקבל את אי-השוויון הבא:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(L-{\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}(y_{i+1}-y_{i})<\sum \limits _{i=N+1}^{k}(x_{i+1}-x_{i})<\left(L+{\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}(y_{i+1}-y_{i})\\\\\left(L-{\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)(y_{k+1}-y_{N+1})<x_{k+1}-x_{N+1}<\left(L+{\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)(y_{k+1}-y_{N+1})\end{aligned}}}$$

נחלק את אי השוויון ב-${\displaystyle y_{k+1}>0}$ ונקבל

$${\displaystyle {\begin{matrix}\left(L-{\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)\left(1-{\dfrac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}\right)<{\dfrac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-{\dfrac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<\left(L+{\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)\left(1-{\dfrac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}\right)\\\\\left(L-{\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)\left(1-{\dfrac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<{\dfrac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<\left(L+{\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)\left(1-{\dfrac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}\end{matrix}}}$$

ברור כי ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left[\left(L+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)\left(1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}\right]=L+{\frac {\varepsilon }{2}}}$ . לכן קיים ${\displaystyle M_{1}}$ טבעי כך שלכל ${\displaystyle k>M_{1}}$ מתקיים ${\displaystyle \left(L+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)\left(1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<L+\varepsilon }$ .

כן ברור כי ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left[\left(L-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)\left(1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}\right]=L-{\frac {\varepsilon }{2}}}$ . לכן קיים ${\displaystyle M_{2}}$ טבעי כך שלכל ${\displaystyle k>M_{2}}$ מתקיים ${\displaystyle \left(L-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)\left(L-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}>L-\varepsilon }$ .

נבחר ${\displaystyle Q=\max\{M_{1},M_{2},N\}}$ . לפיכך לכל ${\displaystyle k>Q}$ מתקיים:

$${\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<L+\varepsilon \quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L}$$

דוגמאות

• נחשב את הגבול ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ כאשר ${\displaystyle a_{n}={\frac {2+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}+\cdots +\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}{n}}}$ .

נסמן ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}\ ,\ y_{n}=n\end{aligned}}}$ . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: ${\displaystyle y_{n}\to \infty }$ עולה ממש. כמו כן:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}-\sum \limits _{k=1}^{n}\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}}{n+1-n}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n+1}=e}$

ולכן לפי המשפט ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=e}$ .

• נחשב את הגבול ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+\cdots +e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}}$ כאשר ${\displaystyle a_{n}\to e}$ .

נסמן ${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}\ ,\ y_{n}=e^{n}}$ . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: ${\displaystyle y_{n}\to \infty }$ עולה ממש. כמו כן:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}e^{k-1}a_{k}-\sum \limits _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}}{e^{n+1}-e^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{n}(a_{n+1})}{e^{n}(e-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{e-1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{e-1}}={\frac {e}{e-1}}}$

השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

ולכן לפי המשפט ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+\cdots +e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}={\frac {e}{e-1}}}$ .

שימושים

• הוכחת כלל לופיטל.

• בהינתן ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה מתכנסת:
  • הממוצעים המשוקללים של הסדרה מתכנסים לגבול הסדרה (זאת בתנאי שסדרת המשקולות ${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ מקיימת ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\to \infty }$).
  • הממוצע החשבוני של הסדרה מתכנס לגבול הסדרה (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
  • הממוצע ההרמוני של הסדרה מתכנס לגבול הסדרה.
    • משתי הטענות האחרונות, מאי-שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של הסדרה מתכנס לגבול הסדרה.