משפט הגרדיאנט

במתמטיקה, משפט הגרדיאנט (ידוע גם בתור המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי לאינטגרל כפול) הוא משפט חשוב מאוד בתחום אנליזה וקטורית, ובכלל באנליזה מתמטית, ומשמש כהכללה למשפט היסודי עבור כל מישור או עקומה ${\displaystyle n}$-ממדית.

בהינתן פונקציה ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ועקומה ${\displaystyle \gamma }$ מנקודה ${\displaystyle \mathbf {p} }$ לנקודה ${\displaystyle \mathbf {q} }$ , אז:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {q} )-\varphi (\mathbf {p} )=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} }$

כאשר ${\displaystyle \nabla \varphi }$ הגרדיאנט של הפונקציה ${\displaystyle \varphi }$ .

המשפט חשוב מאוד כי ניתן להבין ממנו כי ניתן לתאר כל שדה וקטורי משמר כגרדיאנט של שדה סקלרי.

הוכחה

ידוע כי אם ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ פונקציה גזירה עבור תת-קבוצה פתוחה ${\displaystyle U}$ , ואם ${\displaystyle \mathbf {r} :[a,b]\to U}$ פונקציה גזירה, אזי על פי כלל השרשרת הפונקציה ${\displaystyle \varphi \circ \mathbf {r} }$ היא פונקציה גזירה בתחום ${\displaystyle (a,b)}$ ומתקיים

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi {\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr )}\cdot \mathbf {r} '(t)}

לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\in(a,b)} .

עכשיו נניח כי בתחום ${\displaystyle U}$ קיימת עקומה גזירה ${\displaystyle \gamma }$ בעלת נקודות קיצון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf p,\mathbf q} . אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf r} מייצג פרמטר של ${\displaystyle \gamma }$ לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\in[a,b]} , אז ניתן לראות מהטענה הנ"ל כי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int_\gamma\nabla\varphi(\mathbf u)\cdot d\mathbf u&=\int\limits_a^b\nabla\varphi\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)dt\\&=\int\limits_a^b\frac{d}{dt}\varphi\bigl(\mathbf r(t)\bigr)dt=\varphi\bigl(\mathbf r(b)\bigr)-\varphi\bigl(\mathbf r(a)\bigr)=\varphi(\mathbf q)-\varphi(\mathbf p)\end{align}}

כאשר השוויון הראשון נובע מהגדרת אינטגרל קווי, השוויון השלישי נובע מהמשפט היסודי.