אלגברת הקווטרניונים של המילטון

במתמטיקה, אלגברת הקווטרניונים של המילטון, המסומנת ${\displaystyle \mathbb {H} }$, היא מבנה אלגברי שאבריו הם מספרים מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w+xi+yj+zk} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w,x,y,z} מספרים ממשיים ו־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i,j,k} מקיימים

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i^2=j^2=k^2=ijk=-1}

זוהי אלגברת קווטרניונים שמרכזה הוא שדה המספרים הממשיים. את המבנה גילה ב־1843 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון, אשר חיפש דרך לייצג נקודות במרחב בדרך המאפשרת לבצע על הנקודות פעולות חיבור וכפל, לפני המצאת הוקטור.

הקווטרניונים הם הרחבה של שדה המספרים המרוכבים לארבעה ממדים.

מספרים מרוכבים שימשו לייצוג נקודות במישור הדו־ממדי באופן המאפשר ביצוע פעולות חיבור וכפל, והמילטון חיפש דרך לייצג באופן דומה נקודות במרחב התלת־ממדי. נסיונות אלו כשלו, אולם הרחבה למרחב ארבע־ממדי נמצא בדמות הקווטרניונים. השימוש בקווטרניונים חייב את נטישת חוק החילוף, דבר שהיה מהפכני באותם ימים. בהמשך, פותחו הווקטור והמטריצה והשימוש בקווטרניונים לצורכי הצגה גרפית דעך. עם זאת, עדיין קיימים שימושים בקווטרניונים, למשל בגרפיקת תלת-ממד.

היסטוריה

שלט המדווח על גילויו של המילטון על גשר ברוגהם

הקווטרניונים הומצאו על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון ופורסמו על ידו בשנת 1843.^[1] קדמו לגילוי של המילטון זהות ארבעת הריבועים של אוילר משנת 1748, ונוסחת הסיבוב של אוילר–רודריגז משנת 1840 שמכילה למעשה את עיקר התיאור של הקווטריונים. קרל פרידריך גאוס הציג את הנוסחאות לכפל קווטרניונים ברשימה קצרה מ־1819 תחת הכותרת "Mutationen des Raumes", שלא פורסמה עד אחרי מותו.

המילטון שאב השראה מההקבלה בין מספרים מרוכבים לבין נקודות על מישור דו־ממדי. ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור ${\displaystyle z=x+yi=re^{\theta i}}$ ואותו ניתן ליחס לנקודה שהקואורדינטות שלה ${\displaystyle (x,y)}$. באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים. למשל, סיבוב של נקודה ${\displaystyle z=x+yi}$ בזווית ${\displaystyle \alpha }$ מתבצעת על ידי הכפלה

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z'=ze^{i\alpha }=z{\bigl (}\cos(\alpha )+i\sin(\alpha ){\bigr )}}

בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת־ממדית, אך מאמציו עלו בתוהו. ב־16 באוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך לגשר ברוגהם (Brougham Bridge) מצא המילטון את הבסיס לנוסחת הכפל של רביעיות מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית היתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ונדליזם מתמטי' הוא חרט על הגשר את הנוסחא הבסיסית לכפל קווטרניונים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i^2=j^2=k^2=ijk=-1} . המילטון כינה את המספרים שגילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו. ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו, ב־1863.

תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, פיטר טייט ובנימין פירס הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטרניונים לתיאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה. כך למשל הראו כי את משוואות מקסוול ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטרניונים. בסוף שנות ה־80 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטרניונים לתיאור גאומטריה תלת־ממדית, לבין התומכים בשימוש באנליזה וקטורית. בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית. תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתיאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של ממדים.

לקראת סוף המאה ה-20 החל מתגבר השימוש בקווטרניונים לתיאור סיבובים במגוון של תחומים הכוללים גרפיקה ממוחשבת, אווירודינמיקה, תורת הבקרה, עיבוד אותות, פיזיקה וביואינפורמטיקה. משחק המחשב טומב ריידר משנת 1996 נחשב למשחק המסחרי הראשון שהמנוע הגרפי שלו מבוסס על קווטרניונים, והיום נעשה בקווטרניונים שימוש במרבית משחקי המחשב המסחריים. כמו כן, במערכות טוס על חוט (fly by wire) המשמשות לבקרת גובה במטוסים בעלי יציבות אווירודינמית שלילית, הפקודות לייצוב האווירודינמי של המטוס נשלחות כקווטרניונים (קווטרניון בכל חלקיק שניה).

תכונות בסיסיות

מתוך השוויון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i^2=j^2=k^2=ijk=-1} נובעים השוויונות הבאים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}&ij=k,\quad ji=-k\\&jk=i,\quad kj=-i\\&ki=j,\quad ik=-j\end{aligned}}}

קווטרניונים אלה יוצרים את חבורת הקווטרניונים.

חיבור שני קווטרניונים הוא:

${\displaystyle (w_{1}+x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k)+(w_{2}+x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k)=(w_{1}+w_{2})+(x_{1}+x_{2})i+(y_{1}+y_{2})j+(z_{1}+z_{2})k}$

הכפל מתקבל לאחר פתיחת הסוגריים ושימוש בזהויות שלעיל. תחת פעולות אלה של חיבור וכפל, הקווטרניונים מהווים חוג. באופן מפתיע, לכל קווטרניון (פרט לקווטרניון האפס) יש אבר הפכי, ומה שמונע מהקווטרניונים להיות שדה הוא דווקא אי־קיום תכונת הקומוטטיביות (חילופיות): עבור קווטרניונים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_1,q_2} בדרך־כלל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_1q_2\ne q_2q_1} .

באנלוגיה למספרים מרוכבים, מגדירים בהתאמה צמוד וערך מוחלט של קווטרניון:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {q}}=w-(xi+yj+zk)\\|q|=|w+(xi+yj+zk)|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{aligned}}}

בהתאם לזהות ארבעת הריבועים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q_1q_2|=|q_1||q_2|} .

ייצוג מטריציוני וקטורי

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w+xi&y+zi\\-y+zi&w-xi\end{bmatrix}}=w{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+x{\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}+z{\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}$

במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור וכפל מטריצות.

דרך נוספת להבין קווטרניונים היא להציג אותם כזוג סדור של סקלר ווקטור תלת־ממדי: ${\displaystyle (w,{\vec {v}})}$. במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:

${\displaystyle {\begin{aligned}(w_{1},{\vec {v}}_{1})+(w_{2},{\vec {v}}_{2})=(w_{1}+w_{2},{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})\\(w_{1},{\vec {v}}_{1})(w_{2},{\vec {v}}_{2})={\bigr (}w_{1}w_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},w_{1}{\vec {v}}_{2}+w_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}{\bigr )}\end{aligned}}}$

– כפל גראסמן. מכאן רואים את הסיבה לאי־חילופיות הכפל בקווטרניונים – אי־חילופיות המכפלה הווקטורית. כמו כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}(w_1,\vec0)(w_2,\vec0)=(w_1w_2,\vec0)\\(w,0)(0,\vec v)=(0,w\vec v)\\(0,\vec{v}_1)(0,\vec{v}_2)=(-\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2,\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\end{align}}

מהאחרונה נגזרו מאוחר יותר הגדרות המכפלה הסקלרית והמכפלה הווקטורית.

הקווטרניונים ממלאים את יעודם המקורי, סיבוב המרחב התלת־ממדי על ידי פעולת ההצמדה: החבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \H^1} של הקווטרניונים מנורמה 1 פועלת על ידי הצמדה על תת־המרחב התלת־ממדי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \H_0=\{x\in\H:\text{tr}(x)=0\}} ; פעולה זו מגדירה איזומורפיזם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {H} ^{1}/\{\pm 1\}\to {\text{SO}}(3)} לחבורת הסיבובים (שהיא חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1).

קווטרניונים שלמים

אוסף הקווטרניונים מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w+xi+yj+zk} עבור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle w,x,y,z\in \mathbb {Z} } נקרא מסדר ליפשיץ ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w,x,y,z\in\tfrac12+\Z} נקרא מסדר הורוויץ. מסדר הורוויץ מהווה מסדר מקסימלי יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q[i,j]} , ואפשר להעזר בתכונות שלו כדי לקבל הוכחה קלה למשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'. האחרון הוא אוקלידי (מימין ומשמאל) ביחס לפונקציית הנורמה. מסדר ליפשיץ הוא "כמעט אוקלידי": לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} אפשר לחלק עם שארית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=qy+r} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |r|\le|y|} .

אינווריאנטים מקומיים

אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתפצלת בכל השלמה של המספרים הרציונליים, פרט ל־${\displaystyle \mathbb {Q} _{2},\mathbb {R} }$.

הערות שוליים

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}[\omega]}
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$ • אוקטוניונים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\mathbb{O}}} • אלגברות קיילי-דיקסון