משולש שווה-צלעות

משולש שווה-צלעות

בגאומטריה, משולש שווה-צלעות (מש"צ) הוא משולש שכל צלעותיו שוות זו לזו. במשולש כזה גם הזוויות שוות ועל כן כל אחת מהן היא בת 60 מעלות. משולש שווה-צלעות הוא מצולע משוכלל בן שלוש צלעות, ולכן ניתן לכנותו "משולש משוכלל" (אך כינוי זה אינו מקובל).

תכונות

• בכל אחד מקודקודיו של משולש שווה-צלעות, התיכון, הגובה, וחוצה הזווית היוצאים ממנו מתלכדים, וישר זה הוא גם אנך אמצעי לצלע שמול הקודקוד.
• במשולש שווה-צלעות רדיוס המעגל החסום שווה לחצי מרדיוס המעגל החוסם. המרכזים שלהם מתלכדים, ומהווים מרכז הכובד של המשולש, בו כל הקווים המיוחדים נפגשים ומתחלקים ביחס 2:1. בנוסף, המעגל החסום מתלכד עם מעגל תשע הנקודות. בשל ההתלכדות לא מוגדר בו ישר אוילר.
• מבין חמשת הפאונים המשוכללים, בשלושה כל הפאות הן משולשים שווי צלעות: בארבעון (פירמידה משולשת) יש ארבעה משולשים שווי צלעות, בתמניון (אוקטהדרון) - שמונה ובעשרימון (איקוסהדרון) - 20 משולשים שווי צלעות.

חמשת הפאונים האפלטוניים
ארבעון (טטרהדרון – 4 פאות) קובייה (קובייה – 6 פאות) תמניון (אוקטהדרון – 8 פאות) תריסרון (דודקהדרון – 12 פאות) עשרימון (איקוסהדרון – 20 פאות)

מידות

משולש שווה-צלעות

אם צלע המשולש היא ${\displaystyle \ a}$, אז:

• היקף המשולש הוא ${\displaystyle \ 3a}$.
• אורך הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות הוא ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$.
• שטח המשולש הוא ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$.
• רדיוס המעגל החוסם הוא ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}a}$.
• רדיוס המעגל החסום הוא ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$.

בנייה

בנייה של משולש שווה-צלעות

כדי לבנות עם סרגל ומחוגה משולש שווה-צלעות, יש לפעול על פי השיטה הבאה:

• שרטט קטע שאורכו כאורך צלע המשולש הנדרש.
• פתח את המחוגה בגודל הקטע.
• שים את קצה המחוגה בקצה הקטע הנתון ושרטט קשת
• שים את קצה המחוגה בקצה האחר של הקטע הנתון ושרטט קשת.
• חבר את נקודת החיתוך של שתי הקשתות עם קצות הקטע הנתון.

בנייה זו היא הנפוצה ביותר, כי ניתן בעזרתה לבנות משולש עם צלע נתונה. במקרים אחרים, למשל כשיש לשרטט משולש החסום במעגל נתון, יש לפעול לפי השיטה הבאה:

בנייה של משולש שווה-צלעות

• שרטט ישר.
• מקם עליו נקודה ובנה מעגל שהיא במרכזו.
• שרטט מעגל נוסף, בעל אותו רדיוס, שמרכזו באחת מנקודות החיתוך של המעגל עם הישר.
• שרטט קטע המחבר את נקודות החיתוך של שני המעגלים.
• חבר את קצותיו של הקטע עם נקודת החיתוך השנייה של המעגל (הראשון) עם הישר.

שלושת הקטעים ששורטטו מהווים משולש שווה-צלעות.

(התהליך מודגם משמאל).

בשתי הדרכים מתקבלת צורת וסיקה פיסקיס.

ראו גם

• משפט נפוליאון
• פלקסגון

קישורים חיצוניים

• משולש שווה-צלעות, באתר MathWorld (באנגלית)