אורתוגונליות

אוֹרְתּוֹגוֹנָלִיּוֹּת היא הכללה של תכונת הניצבות המוכרת מגאומטריה. בגאומטריה, שני ישרים במישור האוקלידי ניצבים זה לזה אם הזווית הנוצרת בנקודת החיתוך שלהם היא זווית ישרה (בת 90 מעלות). מושג האורתוגונליות מנסה לתפוס תכונה זו גם עבור ההכללות של המישור האוקלידי - המרחבים הווקטוריים שאבריהם אינם בהכרח ישרים אלא וקטורים, שהם מושג כללי יותר.

על מנת להכליל את מושג הניצבות יש ראשית להכליל את מושג הזווית בין שני וקטורים. לשם כך משתמשים בפונקציה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה גודל שניתן לחשוב עליו כעל מכפלת אורכי הווקטורים זה בזה ובקוסינוס הזווית ביניהם. פונקציה זו נקראת "מכפלה פנימית". ישנן מכפלות פנימיות רבות שניתן להגדיר על מרחב וקטורי, ולכן גם מושגי האורך והזווית של וקטורים יכולים לקבל משמעויות רבות, אבל יש כמה תכונות בסיסיות שאנו מצפים שיתקיימו תמיד, ואלו התכונות שמאפיינות את המכפלה הפנימית. מכיוון שקוסינוס של זווית בין שני ישרים ניצבים שווה ל-0 מתבקש להגדיר שני וקטורים כאורתוגונליים אם המכפלה הפנימית שלהם שווה ל-0.

לווקטורים אורתוגונליים חשיבות רבה כאשר חוקרים מרחבים וקטוריים. לבסיס של מרחב וקטורי יש מספר תכונות נוחות כאשר הוא אורתונורמלי (כל אבריו אורתוגונליים זה לזה ובעלי אורך 1). יתר על כן, מתברר שבהינתן בסיס כלשהו למרחב וקטורי ניתן לקבל ממנו בסיס חדש שכל אבריו אורתוגונליים זה לזה, כך שתמיד ניתן למצוא בסיס נוח שכזה. דבר זה נעשה על ידי תהליך גרם-שמידט.

אורתוגונליות בין וקטורים

לכאורה, אורתוגונליות וניצבות הן מילים נרדפות. מיוונית, אורתו - ישר, גוניה - זווית. אבל ניצבות היא רק מקרה פרטי של אורתוגונליות במרחב האוקלידי התלת-ממדי - שני ישרים החותכים זה את זה בזווית ישרה הם אורתוגונליים זה לזה.

באופן כללי, שני וקטורים ${\displaystyle \,u,v}$ במרחב מכפלה פנימית הם אורתוגונליים זה לזה אם ורק אם מכפלתם הפנימית שווה ל-0. הסימון המקובל לכך הוא ${\displaystyle \,u\perp v}$.

(בפרט, שני ישרים אורתוגונליים זה לזה אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל-0, כלומר אם הם מאונכים זה לזה)

תת-מרחב משלים אורתוגונלי

תת מרחב משלים אורתוגונלי (או תת מרחב מאונך) של תת-מרחב אוקלידי נתון, הוא תת-מרחב שכל וקטור בו אורתוגונלי לכל וקטור בתת-המרחב הנתון. במילים אחרות, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,V} הוא תת-מרחב מאונך של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U} מעל מכפלה פנימית ${\displaystyle \langle -,-\rangle :V\times V\to F}$ אם מתקיים כי: ${\displaystyle \forall u\in U,v\in V.\langle u,v\rangle =0}$.

לכל תת-מרחב אוקלידי יש תת-מרחב משלים אורתוגונלי. לדוגמה, במרחב אוקלידי דו ממדי, המשלים האורתוגונלי של כל ישר הוא פשוט הישר המאונך לו. במרחב אוקלידי תלת ממדי, תת-המרחב המשלים האורתוגונלי של כל ישר הוא המישור המאונך לו, ותת המרחב המשלים האורתוגונלי של כל מישור הוא הישר המאונך לו (כמובן, מדובר רק על ישרים ומישורים המהווים תת מרחבים, כלומר עוברים דרך ראשית הצירים).

אורתונורמליות

קבוצת וקטורים תקרא אורתוגונלית אם כל זוג וקטורים מהקבוצה אורתוגונליים זה לזה. קבוצת וקטורים תקרא אורתונורמלית אם בנוסף לדרישה הקודמת כל וקטור בקבוצה הוא מנורמל, כלומר: הנורמה שלו שווה ל-1. את התנאי לאורתונורמליות אפשר להציג באופן אלגנטי באמצעות הדלתא של קרונקר:

קבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A} היא אורתונורמלית אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall v_n, v_m \in A : \lang v_n , v_m \rang = \delta_{n,m}} .

דוגמאות:

1. הבסיס הסטנדרטי הוא בסיס אורתונורמלי תחת המכפלה הפנימית הסטנדרטית.
2. כל אופרטור סיבוב הוא מטריצה אורתונורמלית.

בהינתן בסיס כלשהו של מרחב מכפלה פנימית (סופי או בן מנייה), ניתן להפיק ממנו בסיס אורתונורמלי באמצעות תהליך גרם-שמידט.

דוגמאות

• ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^3} הבסיס הסטנדרטי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{e}_1 = (1,0,0), \ \vec{e}_2 = (0,1,0), \ \vec{e}_3 = (0,0,1)} הוא סדרה אורתונורמלית ביחס למכפלה הסקלרית.
• באופן כללי, ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ הבסיס הסטנדרטי הוא סדרה אורתונורמלית ביחס למכפלה הסקלרית.
• ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^2} הסדרה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v}_1 = (1,1), \ \vec{v}_2 = (1,-1)} היא אורתוגונלית ביחס למכפלה הסקלרית (כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle v_1 , v_2 \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0} ) אבל לא אורתונורמלית, כי למשל ${\displaystyle \langle v_{1},v_{1}\rangle =1\cdot 1+1\cdot 1=2\neq 1}$.

ראו גם

• תהליך גרם-שמידט
• פולינומי לז'נדר

קישורים חיצוניים